Номер 9.55, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.55. Докажите теорему Виета.

Формулировка теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для приведенного квадратного уравнения (где старший коэффициент равен 1) вида $x^2 + px + q = 0$, формулы упрощаются:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

Доказательство

Пусть квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) имеет корни $x_1$ и $x_2$.

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен n-ой степени имеет ровно n корней (с учетом их кратности). Для квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ это означает, что если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то он может быть разложен на множители следующим образом:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Это тождество, верное для любого значения $\text{x}$. Раскроем скобки в правой части этого тождества:

$a(x - x_1)(x - x_2) = a(x^2 - x \cdot x_2 - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2)$

Сгруппируем члены с $\text{x}$:

$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Теперь умножим на коэффициент $\text{a}$:

$ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1x_2)$

Мы получили тождество:

$ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1x_2)$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $\text{x}$. Приравняем коэффициенты при $\text{x}$ и свободные члены в левой и правой частях тождества.

1. Сравним коэффициенты при $\text{x}$:

$b = -a(x_1 + x_2)$

Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем разделить обе части равенства на $-a$:

$-\frac{b}{a} = x_1 + x_2$

2. Сравним свободные члены (коэффициенты при $x^0$):

$c = a(x_1x_2)$

Разделим обе части на $\text{a}$:

$\frac{c}{a} = x_1 \cdot x_2$

Таким образом, мы доказали оба соотношения теоремы Виета. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выполняются соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.