Номер 9.50, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.50. Сколькими способами можно:

1) распределить 8 учебников между двумя учениками;

2) распределить учебники поровну?

1) распределить 8 учебников между двумя учениками

Подразумевается, что все 8 учебников различны, и ученики также различимы.

Для каждого из 8 учебников существует два варианта его распределения: отдать первому ученику или отдать второму ученику. Так как выбор получателя для каждого учебника является независимым событием, общее количество способов распределения можно найти по правилу умножения.

Для первого учебника — 2 варианта.

Для второго учебника — 2 варианта.

...

Для восьмого учебника — 2 варианта.

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого учебника:

$N_1 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8$.

$2^8 = 256$.

Таким образом, существует 256 способов распределить 8 учебников между двумя учениками.

Ответ: 256

2) распределить учебники поровну

"Распределить поровну" означает, что каждый из двух учеников должен получить одинаковое количество учебников. При общем количестве 8 учебников, каждый ученик получит по $8 / 2 = 4$ учебника.

Задача сводится к определению количества способов выбрать 4 учебника для первого ученика из 8 доступных. Как только первый ученик получает свои 4 учебника, оставшиеся 4 автоматически получает второй ученик.

Количество способов выбрать $\text{k}$ предметов из множества $\text{n}$ предметов без учёта порядка выбора называется числом сочетаний и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, $n=8$ (всего учебников) и $k=4$ (учебников для одного ученика).

$N_2 = C_8^4 = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$.

$N_2 = \frac{1680}{24} = 70$.

Следовательно, существует 70 способов распределить 8 учебников поровну между двумя учениками.

Ответ: 70