Номер 9.46, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.46. Обозначим через $n(A)$ количество элементов множества $\text{A}$. Докажите, что для любых счетных множеств $\text{A}$, $\text{B}$ и $\text{C}$ выполняются равенства:

1) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$;

2) $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.

1) Требуется доказать равенство $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. Это формула включений-исключений для двух множеств.

Представим объединение множеств $A \cup B$ как объединение двух непересекающихся множеств: множества $\text{A}$ и множества элементов $\text{B}$, которые не принадлежат $\text{A}$, то есть $B \setminus A$.

Таким образом, $A \cup B = A \cup (B \setminus A)$.

Так как множества $\text{A}$ и $B \setminus A$ не пересекаются (по определению $B \setminus A$), количество элементов в их объединении равно сумме количеств элементов в каждом из них:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B \setminus A)$.

Теперь рассмотрим множество $\text{B}$. Его можно представить как объединение двух непересекающихся подмножеств: элементов, которые также принадлежат $\text{A}$ ($A \cap B$), и элементов, которые не принадлежат $\text{A}$ ($B \setminus A$).

$B = (A \cap B) \cup (B \setminus A)$.

Следовательно, количество элементов в $\text{B}$ равно:

$n(B) = n(A \cap B) + n(B \setminus A)$.

Из этого соотношения выразим количество элементов в $B \setminus A$:

$n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B)$.

Подставим это выражение для $n(B \setminus A)$ в нашу первую формулу для $n(A \cup B)$:

$n(A \cup B) = n(A) + (n(B) - n(A \cap B))$.

Раскрывая скобки, получаем требуемое равенство:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Равенство доказано.

Ответ: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

2) Требуется доказать равенство $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.

Для доказательства воспользуемся результатом, полученным в пункте 1. Рассмотрим $A \cup B \cup C$ как объединение двух множеств: $(A \cup B)$ и $\text{C}$.

Применим формулу из пункта 1 для этих двух множеств:

$n((A \cup B) \cup C) = n(A \cup B) + n(C) - n((A \cup B) \cap C)$.

Теперь преобразуем два члена в правой части этого равенства.

Первый член, $n(A \cup B)$, мы уже знаем из пункта 1:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Второй член, $n((A \cup B) \cap C)$, можно упростить, используя дистрибутивный закон для операций над множествами: $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.

Теперь к $n((A \cap C) \cup (B \cap C))$ снова применим формулу из пункта 1, рассматривая $(A \cap C)$ и $(B \cap C)$ как два отдельных множества:

$n((A \cap C) \cup (B \cap C)) = n(A \cap C) + n(B \cap C) - n((A \cap C) \cap (B \cap C))$.

Пересечение множеств $(A \cap C)$ и $(B \cap C)$ это множество элементов, принадлежащих всем трем множествам: $(A \cap C) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C$.

Следовательно, $n((A \cup B) \cap C) = n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)$.

Теперь подставим полученные выражения для $n(A \cup B)$ и $n((A \cup B) \cap C)$ в исходную формулу:

$n(A \cup B \cup C) = [n(A) + n(B) - n(A \cap B)] + n(C) - [n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)]$.

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.

Равенство доказано.

Ответ: $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.