Номер 9.40, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.40. Пусть $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Выразите через $b_1$ и $\text{q}$ суммы следующих рядов:

1) $b_1 + b_2 + b_3 + ...$;

2) $b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + ...$;

3) $b_1^3 + b_2^3 + b_3^3 + ...$.

1) Исходная последовательность $b_1, b_2, b_3, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Это означает, что каждый следующий член получается из предыдущего умножением на знаменатель прогрессии $\text{q}$, причем $|q| < 1$. Общий член прогрессии имеет вид $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Ряд $b_1 + b_2 + b_3 + \dots$ представляет собой сумму всех членов этой прогрессии.

Сумма $\text{S}$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $a_1$ и знаменателем $\text{r}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a_1}{1-r}$.

В данном случае первый член $a_1 = b_1$, а знаменатель $r = q$. Подставляя эти значения в формулу, получаем сумму ряда:

$S_1 = \frac{b_1}{1-q}$.

Ответ: $\frac{b_1}{1-q}$

2) Рассмотрим ряд $b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + \dots$.

Члены этого ряда образуют новую последовательность: $c_1, c_2, c_3, \dots$, где $c_n = b_n^2$.

Найдем первый член и знаменатель этой новой последовательности.

Первый член: $c_1 = b_1^2$.

Второй член: $c_2 = b_2^2 = (b_1 q)^2 = b_1^2 q^2$.

Найдем отношение второго члена к первому, чтобы определить знаменатель $q'$ новой прогрессии:

$q' = \frac{c_2}{c_1} = \frac{b_1^2 q^2}{b_1^2} = q^2$.

Таким образом, последовательность $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \dots$ является геометрической прогрессией с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$.

Так как исходная прогрессия является бесконечно убывающей, то $|q| < 1$. Отсюда следует, что $|q'| = |q^2| = |q|^2 < 1^2 = 1$. Значит, новая прогрессия также является бесконечно убывающей.

Применяем формулу суммы для этой прогрессии:

$S_2 = \frac{c_1}{1-q'} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$.

Ответ: $\frac{b_1^2}{1-q^2}$

3) Рассмотрим ряд $b_1^3 + b_2^3 + b_3^3 + \dots$.

Аналогично предыдущему пункту, члены этого ряда образуют новую геометрическую прогрессию. Обозначим ее члены как $d_n = b_n^3$.

Первый член этой прогрессии: $d_1 = b_1^3$.

Второй член: $d_2 = b_2^3 = (b_1 q)^3 = b_1^3 q^3$.

Найдем знаменатель $q''$ этой прогрессии:

$q'' = \frac{d_2}{d_1} = \frac{b_1^3 q^3}{b_1^3} = q^3$.

Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию с первым членом $b_1^3$ и знаменателем $q^3$.

Поскольку $|q| < 1$, то $|q''| = |q^3| = |q|^3 < 1^3 = 1$. Следовательно, эта прогрессия также является бесконечно убывающей.

Применяем формулу суммы:

$S_3 = \frac{d_1}{1-q''} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$.

Ответ: $\frac{b_1^3}{1-q^3}$