Номер 9.35, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.35. Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_n$ – последовательные члены арифметической прогрессии, $a_1 = a$, $a_n = b$ ($a > 0, b > 0, a \neq b$). Выразите через $a, b$ и $\text{n}$ следующую сумму:

$\frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}}$.

Обозначим искомую сумму через $\text{S}$.

$S = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}}$

Рассмотрим общий $\text{k}$-й член этой суммы, который имеет вид $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$. Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$.

$\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})}{(\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}})^2 - (\sqrt{a_k})^2} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$

Так как $a_1, a_2, \dots, a_n$ — это последовательные члены арифметической прогрессии, разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Обозначим эту разность через $\text{d}$. Тогда $d = a_{k+1} - a_k$ для любого $\text{k}$ от 1 до $n-1$.

Следовательно, каждый член суммы можно записать в виде:

$\frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$

Теперь мы можем переписать всю сумму $\text{S}$, вынеся общий множитель $\frac{1}{d}$ за скобки:

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$

Распишем сумму, стоящую под знаком $\sum$:

$(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + (\sqrt{a_4} - \sqrt{a_3}) + \dots + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})$

Это так называемая телескопическая сумма, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только первый и последний члены:

$\sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = -\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n} = \sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}$

Подставим это обратно в выражение для $\text{S}$:

$S = \frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$

Из условия задачи мы знаем, что $a_1 = a$ и $a_n = b$. Подставим эти значения:

$S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{d}$

Теперь нужно выразить разность прогрессии $\text{d}$ через заданные величины $a, b$ и $\text{n}$. Воспользуемся формулой $\text{n}$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$b = a + (n-1)d$

Выразим отсюда $\text{d}$:

$b - a = (n-1)d \implies d = \frac{b - a}{n-1}$

Подставим это выражение для $\text{d}$ в нашу формулу для суммы $\text{S}$:

$S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\frac{b - a}{n-1}} = \frac{(n-1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{b - a}$

Чтобы завершить упрощение, заметим, что знаменатель $b-a$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $b - a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$.

$S = \frac{(n-1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}$

Поскольку по условию $a \neq b$, то $\sqrt{b} - \sqrt{a} \neq 0$, и мы можем сократить эту скобку в числителе и знаменателе:

$S = \frac{n-1}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{n-1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$