Номер 9.28, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21-9.28 упростите выражения.

9.28. $\frac{a\sqrt{a} + 9a + 27\sqrt{a} + 27}{a + 6\sqrt{a} + 9}$

9.28. Для упрощения выражения $\frac{a\sqrt{a} + 9a + 27\sqrt{a} + 27}{a + 6\sqrt{a} + 9}$ заметим, что оно определено при $a \ge 0$.

Чтобы упростить числитель и знаменатель, введем замену. Пусть $x = \sqrt{a}$. Тогда $a = x^2$ и $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = x^2 \cdot x = x^3$.

Подставим новую переменную в исходное выражение.

Числитель примет вид: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

Знаменатель примет вид: $x^2 + 6x + 9$.

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители.

Выражение в числителе является полным кубом суммы. Воспользуемся формулой куба суммы: $(b+c)^3 = b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3$.

В нашем случае $b=x$ и $c=3$:

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = (x+3)^3$.

Выражение в знаменателе является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$.

В нашем случае $b=x$ и $c=3$:

$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x+3)^3}{(x+3)^2}$

Сократим дробь на $(x+3)^2$. Так как $a \ge 0$, то $x = \sqrt{a} \ge 0$, следовательно $x+3 \neq 0$.

$\frac{(x+3)^3}{(x+3)^2} = x+3$.

Выполним обратную замену, подставив $x = \sqrt{a}$:

$x+3 = \sqrt{a} + 3$.

Ответ: $\sqrt{a} + 3$