Номер 9.26, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21-9.28 упростите выражения.

9.26. $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - x + 1}$

9.26. Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо разложить числитель на множители и сократить дробь.

Исходное выражение: $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - x + 1}$.

Рассмотрим числитель $x^4 + x^2 + 1$. Для того чтобы разложить его на множители, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого представим $x^2$ как $2x^2 - x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$.

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат двучлена $(x^2 + 1)^2$:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$.

Теперь мы получили выражение, представляющее собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = ((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$.

Перепишем полученные множители в стандартном виде, упорядочив слагаемые по убыванию степеней $\text{x}$:

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

Теперь подставим полученное разложение числителя обратно в исходную дробь:

$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - x + 1} = \frac{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 - x + 1}$.

Сократим общий множитель $(x^2 - x + 1)$ в числителе и знаменателе. (Заметим, что выражение $x^2 - x + 1$ никогда не равно нулю для действительных $\text{x}$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, поэтому деление на ноль не происходит).

$\frac{\cancel{(x^2 - x + 1)}(x^2 + x + 1)}{\cancel{x^2 - x + 1}} = x^2 + x + 1$.

В результате упрощения получаем $x^2 + x + 1$.

Ответ: $x^2 + x + 1$.