Номер 9.27, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21-9.28 упростите выражения.

9.27. $\frac{(x^2 - y^2 - z^2 - 2yz)(x + y - z)}{(x + y + z)(x^2 - y^2 + z^2 - 2xz)}$

9.27. Для упрощения данного выражения необходимо разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с первого множителя в числителе: $x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{y}$ и $\text{z}$, и вынесем минус за скобку: $x^2 - (y^2 + 2yz + z^2)$. Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(y+z)^2$. Тогда исходное выражение преобразуется в разность квадратов: $x^2 - (y+z)^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $(x - (y+z))(x + (y+z)) = (x - y - z)(x + y + z)$. Теперь рассмотрим второй множитель в знаменателе: $x^2 - y^2 + z^2 - 2xz$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{x}$ и $\text{z}$: $(x^2 - 2xz + z^2) - y^2$. Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $(x-z)^2$. Тогда мы снова получаем разность квадратов: $(x-z)^2 - y^2$. Разложим ее на множители: $((x-z) - y)((x-z) + y) = (x - y - z)(x + y - z)$. Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь. Числитель примет вид: $(x - y - z)(x + y + z)(x + y - z)$. Знаменатель примет вид: $(x + y + z)(x - y - z)(x + y - z)$. Исходное выражение преобразуется в: $$ \frac{(x - y - z)(x + y + z)(x + y - z)}{(x + y + z)(x - y - z)(x + y - z)} $$ Видно, что числитель и знаменатель дроби равны. Следовательно, при условии, что знаменатель не обращается в ноль, данное выражение равно 1. Ответ: 1