Номер 9.31, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.31. Пусть последовательность $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ является арифметической прогрессией с разностью, равной $\text{d}$. Докажите следующие формулы:

$a_n = a_1 + (n-1)d, 2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}, S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $\text{n}$ членов арифметической прогрессии.

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

По определению арифметической прогрессии, каждый член последовательности, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с постоянной для этой последовательности величиной — разностью прогрессии $\text{d}$.

Запишем выражения для нескольких первых членов через $a_1$ и $\text{d}$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$

$a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$

Мы можем заметить закономерность: чтобы найти $\text{n}$-й член прогрессии $a_n$, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $\text{d}$, умноженную на $(n-1)$.

Формально, для перехода от $a_1$ к $a_n$ нужно сделать $(n-1)$ шагов, на каждом из которых прибавляется $\text{d}$.

Следовательно,

$a_n = a_1 + \underbrace{d + d + \dots + d}_{n-1 \text{ раз}} = a_1 + (n-1)d$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ:

$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Данная формула выражает характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов.

Воспользуемся определением арифметической прогрессии. Для члена $a_n$ (при $n > 1$) и следующего за ним члена $a_{n+1}$ справедливы равенства:

$a_n = a_{n-1} + d$ (1)

$a_{n+1} = a_n + d$ (2)

Из равенства (2) выразим разность $\text{d}$:

$d = a_{n+1} - a_n$

Теперь подставим это выражение для $\text{d}$ в равенство (1):

$a_n = a_{n-1} + (a_{n+1} - a_n)$

Перенесем $a_n$ из правой части уравнения в левую, изменив знак:

$a_n + a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Что приводит к искомой формуле:

$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$.

Ответ:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Сумма первых $\text{n}$ членов арифметической прогрессии $S_n$ определяется как $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

Запишем эту сумму в прямом и обратном порядке:

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$

$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$

Сложим эти два равенства почленно:

$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$

Рассмотрим сумму любой пары членов, равноудаленных от концов прогрессии, например $a_k$ и $a_{n-k+1}$. Используя доказанную ранее формулу $\text{n}$-го члена, получаем:

$a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (n-k)d) = 2a_1 + (n-1)d$.

Эта сумма не зависит от $\text{k}$ и равна сумме первого и последнего членов, $a_1 + a_n$.

В правой части уравнения для $2S_n$ находится $\text{n}$ таких пар, и сумма в каждой паре одинакова и равна $a_1 + a_n$.

$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

Отсюда получаем промежуточную формулу для суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Чтобы получить требуемую формулу, подставим в это выражение формулу для $\text{n}$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n$

Упростив выражение в числителе, получаем окончательную формулу:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Формула доказана.

Ответ: