Номер 9.33, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.33. Пусть $b_1, b_2, ...b_n, ...$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $|q|<1$). Докажите справедливость формулы

$$b_1 + b_2 + ... + b_n + ... = \frac{b_1}{1-q}.$$

Сумма $\text{S}$ бесконечной геометрической прогрессии по определению является пределом последовательности ее частичных сумм $S_n$ при $n \to \infty$.

Формула для суммы первых $\text{n}$ членов (частичной суммы) геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$,

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $\text{q}$ — её знаменатель.

Для нахождения суммы всей бесконечной прогрессии необходимо вычислить предел $S_n$ при $\text{n}$, стремящемся к бесконечности:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

По условию, геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, что означает, что модуль её знаменателя $\text{q}$ строго меньше единицы: $|q| < 1$.

Если $|q| < 1$, то предел выражения $q^n$ при $n \to \infty$ равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.

Подставим это значение предела в выражение для суммы $\text{S}$:

$S = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} \cdot \lim_{n \to \infty} (1-q^n) = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1 - \lim_{n \to \infty} q^n) = \frac{b_1}{1-q} \cdot (1-0) = \frac{b_1}{1-q}$.

Таким образом, мы доказали, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии действительно равна $\frac{b_1}{1-q}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Справедливость формулы $b_1 + b_2 + \dots + b_n + \dots = \frac{b_1}{1-q}$ доказана путем нахождения предела последовательности частичных сумм геометрической прогрессии при условии $|q| < 1$.