Номер 9.38, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.38. Между числами 5 и 25 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Пусть искомая последовательность чисел является геометрической прогрессией $(b_n)$. Согласно условию, первый член прогрессии $b_1 = 5$. Между числами 5 и 25 нужно вставить семь чисел. Это означает, что всего в прогрессии будет $2 + 7 = 9$ членов, а девятый член прогрессии будет $b_9 = 25$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $\text{q}$ — знаменатель прогрессии. Применим эту формулу для $b_9$:

$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$

$25 = 5 \cdot q^8$

Чтобы найти знаменатель $\text{q}$, решим это уравнение:

$q^8 = \frac{25}{5}$

$q^8 = 5$

Так как показатель степени 8 является четным числом, уравнение имеет два действительных решения для $\text{q}$:

$q = \sqrt[8]{5}$ и $q = -\sqrt[8]{5}$.

Это означает, что существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Случай 1: $q = \sqrt[8]{5}$

В этом случае все члены прогрессии положительны. Искомые семь чисел — это $b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8$.

$b_2 = b_1 \cdot q = 5 \cdot \sqrt[8]{5}$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^2 = 5 \cdot \sqrt[8]{5^2} = 5\sqrt[4]{5}$

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^3 = 5\sqrt[8]{125}$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^4 = 5 \cdot \sqrt[8]{5^4} = 5\sqrt{5}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^5 = 5\sqrt[8]{3125}$

$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^6 = 5 \cdot \sqrt[8]{5^6} = 5\sqrt[4]{125}$

$b_8 = b_1 \cdot q^7 = 5 \cdot (\sqrt[8]{5})^7 = 5\sqrt[8]{78125}$

Случай 2: $q = -\sqrt[8]{5}$

В этом случае знаки членов прогрессии, начиная со второго, чередуются.

$b_2 = b_1 \cdot q = 5 \cdot (-\sqrt[8]{5}) = -5\sqrt[8]{5}$

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 5 \cdot (-\sqrt[8]{5})^2 = 5\sqrt[4]{5}$

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 5 \cdot (-\sqrt[8]{5})^3 = -5\sqrt[8]{125}$

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 5 \cdot (-\sqrt[8]{5})^4 = 5\sqrt{5}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = 5 \cdot (-\sqrt[8]{5})^5 = -5\sqrt[8]{3125}$

$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 5 \cdot (-\sqrt[8]{5})^6 = 5\sqrt[4]{125}$

$b_8 = b_1 \cdot q^7 = 5 \cdot (-\sqrt[8]{5})^7 = -5\sqrt[8]{78125}$

Ответ: есть два возможных набора чисел, которые можно вставить между 5 и 25:

1) $5\sqrt[8]{5}$, $5\sqrt[4]{5}$, $5\sqrt[8]{125}$, $5\sqrt{5}$, $5\sqrt[8]{3125}$, $5\sqrt[4]{125}$, $5\sqrt[8]{78125}$.

2) $-5\sqrt[8]{5}$, $5\sqrt[4]{5}$, $-5\sqrt[8]{125}$, $5\sqrt{5}$, $-5\sqrt[8]{3125}$, $5\sqrt[4]{125}$, $-5\sqrt[8]{78125}$.