Номер 9.43, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.43. Представьте периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

1) $1,21\overline{32}$;

2) $0,27\overline{345}$

3) $3,\overline{31}$;

4) $2,1\overline{4}$.

1) Чтобы представить смешанную периодическую дробь $1,21(32)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $\text{x}$:

$x = 1,213232...$

Умножим это уравнение на $100$, чтобы сместить непериодическую часть (21) влево от запятой:

$100x = 121,3232...$

Теперь умножим исходное уравнение на $10000$, чтобы сместить непериодическую часть и один период (2132) влево от запятой:

$10000x = 12132,3232...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:

$10000x - 100x = 12132,3232... - 121,3232...$

$9900x = 12011$

Отсюда находим $\text{x}$:

$x = \frac{12011}{9900}$

Ответ: $\frac{12011}{9900}$

2) Чтобы представить смешанную периодическую дробь $0,27(345)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $\text{x}$:

$x = 0,27345345...$

Умножим уравнение на $100$, чтобы сместить непериодическую часть (27) влево от запятой:

$100x = 27,345345...$

Умножим исходное уравнение на $100000$, чтобы сместить непериодическую часть и один период (27345) влево от запятой:

$100000x = 27345,345345...$

Вычтем первое уравнение из второго:

$100000x - 100x = 27345,345345... - 27,345345...$

$99900x = 27318$

$x = \frac{27318}{99900}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 2:

$\frac{27318}{99900} = \frac{13659}{49950}$

Сумма цифр числителя $(1+3+6+5+9=24)$ и знаменателя $(4+9+9+5+0=27)$ делится на 3, значит дробь можно сократить на 3:

$\frac{13659}{49950} = \frac{4553}{16650}$

Ответ: $\frac{4553}{16650}$

3) Чтобы представить чистую периодическую дробь $3,(31)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $\text{x}$:

$x = 3,313131...$

Период состоит из двух цифр, поэтому умножим уравнение на $100$:

$100x = 331,313131...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 331,3131... - 3,3131...$

$99x = 328$

$x = \frac{328}{99}$

Ответ: $\frac{328}{99}$

4) Чтобы представить смешанную периодическую дробь $2,1(4)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $\text{x}$:

$x = 2,1444...$

Умножим уравнение на $10$, чтобы сместить непериодическую часть (1) влево от запятой:

$10x = 21,444...$

Умножим исходное уравнение на $100$, чтобы сместить непериодическую часть и один период (14) влево от запятой:

$100x = 214,444...$

Вычтем первое уравнение из второго:

$100x - 10x = 214,444... - 21,444...$

$90x = 193$

$x = \frac{193}{90}$

Ответ: $\frac{193}{90}$