Номер 9.41, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.41. Первый член и сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии соответственно равны 0,3 и 0,9. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $\text{q}$ — её знаменатель, а $\text{S}$ — её сумма.

Согласно условию задачи, нам известны следующие значения: Первый член прогрессии $b_1 = 0,3$. Сумма прогрессии $S = 0,9$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$ Это равенство справедливо при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Подставим данные из условия в формулу: $0,9 = \frac{0,3}{1 - q}$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $\text{q}$. Для этого выразим знаменатель дроби $(1 - q)$: $1 - q = \frac{0,3}{0,9}$

Сократим дробь в правой части уравнения: $1 - q = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Из этого выражения найдем $\text{q}$: $q = 1 - \frac{1}{3}$ $q = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Проверим, выполняется ли условие для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $|q| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3} < 1$, условие выполняется.

Ответ: $\frac{2}{3}$.