Номер 9.45, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.45. В арифметической прогрессии восьмой член равен 60. Известно, что числа $a_1$, $a_7$ и $a_{25}$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $\text{d}$ — её разность. Формула $\text{n}$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, восьмой член прогрессии равен 60: $a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 60$. (1)

Также известно, что числа $a_1$, $a_7$ и $a_{25}$ образуют геометрическую прогрессию. Для трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух других. Таким образом, $a_7^2 = a_1 \cdot a_{25}$.

Выразим члены $a_7$ и $a_{25}$ через $a_1$ и $\text{d}$: $a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$ $a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$

Подставим эти выражения в свойство геометрической прогрессии: $(a_1 + 6d)^2 = a_1(a_1 + 24d)$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение: $a_1^2 + 12a_1d + 36d^2 = a_1^2 + 24a_1d$ $12a_1d + 36d^2 = 24a_1d$ $36d^2 = 12a_1d$ $36d^2 - 12a_1d = 0$ $12d(3d - a_1) = 0$

Это уравнение обращается в нуль в двух случаях: либо $d=0$, либо $3d - a_1 = 0$. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: $d = 0$. Подставим $d=0$ в уравнение (1): $a_1 + 7 \cdot 0 = 60 \implies a_1 = 60$. При $d=0$ арифметическая прогрессия является стационарной, то есть все её члены равны $a_1$. Следовательно, $a_1 = 60$, $a_7 = 60$, $a_{25} = 60$. Эти числа образуют геометрическую прогрессию 60, 60, 60, знаменатель которой $\text{q}$ равен: $q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{60}{60} = 1$.

Случай 2: $3d - a_1 = 0 \implies a_1 = 3d$. Подставим это соотношение в уравнение (1): $3d + 7d = 60$ $10d = 60$ $d = 6$. Найдем $a_1$: $a_1 = 3d = 3 \cdot 6 = 18$. Теперь найдем члены, образующие геометрическую прогрессию: $a_1 = 18$ $a_7 = a_1 + 6d = 18 + 6(6) = 18 + 36 = 54$. Знаменатель $\text{q}$ этой геометрической прогрессии равен: $q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{54}{18} = 3$. Для проверки можно найти и $a_{25} = a_1 + 24d = 18 + 24(6) = 18 + 144 = 162$, и убедиться, что $\frac{a_{25}}{a_7} = \frac{162}{54} = 3$.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 1 или 3.