Номер 9.51, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.51. 1) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

2) Сколько таких чисел можно составить, если цифры не повторяются?

1)

Для составления трехзначного числа из цифр 1, 2, 3, 4, 5 мы имеем 3 позиции: сотни, десятки и единицы. Поскольку в условии не сказано, что цифры не могут повторяться, мы предполагаем, что повторения разрешены.

Для каждой из трех позиций в числе мы можем выбрать любую из пяти данных цифр:

• На место сотен можно поставить любую из 5 цифр.
• На место десятков можно поставить любую из 5 цифр.
• На место единиц можно поставить любую из 5 цифр.

Чтобы найти общее количество возможных трехзначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно правилу умножения в комбинаторике).

Количество чисел = $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.

Такая комбинация называется размещением с повторениями и вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n=5$ (количество доступных цифр) и $k=3$ (длина числа).

Ответ: 125

2)

В этом случае цифры в числе не должны повторяться. Мы снова составляем трехзначное число из цифр 1, 2, 3, 4, 5.

• На место сотен можно поставить любую из 5 цифр.
• После того как одна цифра выбрана для сотен, на место десятков остается $5 - 1 = 4$ возможные цифры.
• После выбора цифр для сотен и десятков, на место единиц остается $5 - 2 = 3$ возможные цифры.

Снова используем правило умножения, чтобы найти общее количество таких чисел:

Количество чисел = $5 \times 4 \times 3 = 60$.

Эта комбинация является размещением без повторений и вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=5$ и $k=3$.

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60