Номер 9.53, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.53. Найдите коэффициент при $x^5$ для следующих многочленов:

1) $(1+x+x^2)^3$;

2) $(1+x^2-x^3)^4$.

1) Для нахождения коэффициента при $x^5$ в разложении многочлена $(1 + x + x^2)^3$ воспользуемся формулой полиномиального разложения (мультиномиальной теоремой). Общий член разложения $(a+b+c)^n$ имеет вид $\frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k$, где $i, j, k$ – неотрицательные целые числа, и $i+j+k=n$.

В нашем случае $a=1, b=x, c=x^2$ и $n=3$. Общий член разложения имеет вид: $\frac{3!}{i!j!k!} (1)^i (x)^j (x^2)^k = \frac{3!}{i!j!k!} x^{j+2k}$.

Нам нужно найти такие неотрицательные целые числа $i, j, k$, которые удовлетворяют системе уравнений:

1. $i+j+k=3$ (сумма показателей равна степени многочлена)

2. $j+2k=5$ (показатель степени $\text{x}$ равен 5)

Рассмотрим второе уравнение $j+2k=5$. Так как $j, k$ – неотрицательные целые числа, переберем возможные значения $\text{k}$:

- Если $k=0$, то $j=5$. Подставляя в первое уравнение: $i+5+0=3 \implies i=-2$. Это не является решением, так как $\text{i}$ должно быть неотрицательным.

- Если $k=1$, то $j=3$. Подставляя в первое уравнение: $i+3+1=3 \implies i=-1$. Это также не является решением.

- Если $k=2$, то $j=1$. Подставляя в первое уравнение: $i+1+2=3 \implies i=0$. Это подходящее решение: $(i, j, k) = (0, 1, 2)$.

- Если $k \ge 3$, то $2k \ge 6$, и $j=5-2k$ будет отрицательным, что невозможно.

Таким образом, существует только одна комбинация показателей $(i, j, k)$, дающая член с $x^5$.

Вычислим соответствующий коэффициент, подставив найденные значения в полиномиальный коэффициент:

$\frac{3!}{i!j!k!} = \frac{3!}{0!1!2!} = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 2} = 3$.

Ответ: 3

2) Аналогично найдем коэффициент при $x^5$ для многочлена $(1 + x^2 - x^3)^4$.

Здесь $a=1, b=x^2, c=-x^3$ и $n=4$. Общий член разложения имеет вид:

$\frac{4!}{i!j!k!} (1)^i (x^2)^j (-x^3)^k = \frac{4!}{i!j!k!} (-1)^k x^{2j+3k}$.

Нам нужно найти неотрицательные целые числа $i, j, k$, удовлетворяющие системе:

1. $i+j+k=4$

2. $2j+3k=5$

Рассмотрим второе уравнение $2j+3k=5$. Переберем возможные неотрицательные целые значения $\text{k}$:

- Если $k=0$, то $2j=5$. Уравнение не имеет целых решений для $\text{j}$.

- Если $k=1$, то $2j+3=5 \implies 2j=2 \implies j=1$. Подставляя $j=1, k=1$ в первое уравнение: $i+1+1=4 \implies i=2$. Это подходящее решение: $(i, j, k) = (2, 1, 1)$.

- Если $k \ge 2$, то $3k \ge 6$, и $2j=5-3k$ будет отрицательным, что невозможно для неотрицательного $\text{j}$.

Следовательно, существует только одна комбинация показателей $(i, j, k)$, которая дает член с $x^5$.

Вычислим искомый коэффициент для набора $(i,j,k)=(2,1,1)$:

$\frac{4!}{i!j!k!} (-1)^k = \frac{4!}{2!1!1!} (-1)^1 = \frac{24}{2 \cdot 1 \cdot 1} \cdot (-1) = 12 \cdot (-1) = -12$.

Ответ: -12