Номер 9.60, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.60. При каких значениях $\text{a}$ уравнение $(x^2 - a)(x^2 + 3ax + a) = 0$ имеет два различных корня?

Исходное уравнение $(x^2 - a)(x^2 + 3ax + a) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - a = 0$

2) $x^2 + 3ax + a = 0$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, необходимо, чтобы объединение множеств корней этих двух уравнений содержало ровно два элемента.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Уравнение 1: $x^2 - a = 0$ или $x^2 = a$.

• Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• Если $a = 0$, уравнение имеет один корень $x = 0$.
• Если $a > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.

Уравнение 2: $x^2 + 3ax + a = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $\text{D}$:

$D = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9a^2 - 4a = a(9a - 4)$.

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это происходит, когда $a(9a - 4) < 0$, то есть при $0 < a < \frac{4}{9}$.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один корень. Это происходит при $a = 0$ или $a = \frac{4}{9}$.
  • При $a = 0$ уравнение становится $x^2=0$, корень $x=0$.
  • При $a = \frac{4}{9}$ уравнение имеет корень $x = \frac{-3a}{2} = \frac{-3(4/9)}{2} = -\frac{2}{3}$.
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Это происходит, когда $a(9a - 4) > 0$, то есть при $a < 0$ или $a > \frac{4}{9}$.

Теперь рассмотрим различные случаи для параметра $\text{a}$, чтобы найти, когда общее число различных корней равно двум.

Случай 1: $a < 0$.

Уравнение 1 ($x^2=a$) не имеет корней.

Уравнение 2 ($x^2 + 3ax + a = 0$) имеет дискриминант $D = a(9a - 4)$. Так как $a < 0$, то $9a-4$ также отрицательно, следовательно $D > 0$. Значит, уравнение 2 имеет два различных корня.

Итого, при $a < 0$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня. Этот случай нам подходит.

Случай 2: $a = 0$.

Исходное уравнение принимает вид $(x^2 - 0)(x^2 + 0 + 0) = 0$, то есть $x^4 = 0$. У этого уравнения есть только один корень $x=0$. Этот случай не подходит.

Случай 3: $0 < a < \frac{4}{9}$.

Уравнение 1 ($x^2=a$) имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{a}$.

Уравнение 2 ($x^2 + 3ax + a = 0$) имеет дискриминант $D = a(9a - 4) < 0$, так как $a > 0$ и $9a-4 < 0$. Значит, уравнение 2 не имеет корней.

Итого, при $0 < a < \frac{4}{9}$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня. Этот случай нам подходит.

Случай 4: $a = \frac{4}{9}$.

Уравнение 1 ($x^2 = \frac{4}{9}$) имеет два различных корня: $x = \pm\frac{2}{3}$.

Уравнение 2 ($x^2 + 3ax + a = 0$) имеет дискриминант $D=0$. Оно имеет один корень $x = -\frac{2}{3}$.

Объединяя корни обоих уравнений, получаем множество $\{ \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \} \cup \{ -\frac{2}{3} \} = \{ \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \}$. Это множество содержит два различных элемента.

Итого, при $a = \frac{4}{9}$ исходное уравнение имеет ровно два различных корня. Этот случай нам подходит.

Случай 5: $a > \frac{4}{9}$.

Уравнение 1 ($x^2=a$) имеет два различных корня $x = \pm\sqrt{a}$.

Уравнение 2 ($x^2 + 3ax + a = 0$) имеет дискриминант $D = a(9a - 4) > 0$, так как $a > 0$ и $9a-4 > 0$. Значит, уравнение 2 также имеет два различных корня.

Чтобы общее число корней было равно двум, необходимо, чтобы множества корней обоих уравнений совпадали. То есть, корни уравнения 1 ($\pm\sqrt{a}$) должны быть корнями уравнения 2. Проверим, может ли корень $x=-\sqrt{a}$ быть корнем второго уравнения (выбор знака не влияет на конечный результат, но с минусом выкладки проще):

$(-\sqrt{a})^2 + 3a(-\sqrt{a}) + a = 0$

$a - 3a\sqrt{a} + a = 0$

$2a - 3a\sqrt{a} = 0$

$a(2 - 3\sqrt{a}) = 0$

Так как $a > \frac{4}{9}$, то $a \ne 0$. Следовательно, $2 - 3\sqrt{a} = 0$, откуда $\sqrt{a} = \frac{2}{3}$ и $a = \frac{4}{9}$.

Это значение не входит в рассматриваемый промежуток $a > \frac{4}{9}$. Это означает, что при $a > \frac{4}{9}$ корни первого и второго уравнений не совпадают. Следовательно, общее число различных корней будет равно $2+2=4$. Этот случай не подходит.

Объединяя все подходящие случаи, получаем, что уравнение имеет два различных корня при $a < 0$ или $0 < a \le \frac{4}{9}$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{4}{9}]$