Номер 9.59, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.59. Пусть $a-b+c=0$. Докажите, что корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равны $x_1 = -1$, $x_2=-\frac{c}{a}$.

Для доказательства утверждения разделим задачу на два шага: сначала докажем, что $x_1 = -1$ является корнем, а затем, используя это знание, найдем второй корень.

1. Доказательство, что $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Число является корнем уравнения, если при его подстановке в уравнение получается верное числовое равенство. Подставим значение $x = -1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = a \cdot 1 - b + c = a - b + c$

Согласно условию задачи, нам дано, что $a - b + c = 0$.

Таким образом, при подстановке $x = -1$ левая часть уравнения обращается в ноль, и мы получаем верное равенство $0 = 0$. Это доказывает, что $x_1 = -1$ является одним из корней данного квадратного уравнения.

2. Нахождение второго корня $x_2$.

Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ произведение корней равно:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Мы уже установили, что один из корней, $x_1$, равен $-1$. Подставим это значение в формулу:

$(-1) \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Чтобы найти $x_2$, домножим обе части равенства на $-1$:

$x_2 = -\frac{c}{a}$

Следовательно, второй корень уравнения действительно равен $-\frac{c}{a}$.

Таким образом, мы доказали, что если $a - b + c = 0$, то корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{c}{a}$.

Ответ: Утверждение доказано. Подстановка $x = -1$ в уравнение $ax^2+bx+c$ дает выражение $a-b+c$, которое по условию равно нулю, значит $x_1=-1$ — корень. По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Подставляя известный корень $x_1=-1$, получаем $(-1) \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, откуда следует, что второй корень $x_2 = -\frac{c}{a}$.