Номер 9.64, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.64. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ xy = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 3y = 7, \\ xy = -2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ xy(x + y) = 30. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 6. \end{cases} $

Эту систему можно решить, используя теорему, обратную теореме Виета. Согласно ей, числа $\text{x}$ и $\text{y}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из системы в это уравнение:

$t^2 - 7t + 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Его можно разложить на множители:

$(t-1)(t-6) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$.

Следовательно, пара чисел $(x, y)$ может принимать значения $(1, 6)$ или $(6, 1)$.

Ответ: $(1, 6)$, $(6, 1)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 7, \\ xy = 3. \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Выразим $\text{x}$ из первого уравнения: $x = 7 - 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(7 - 2y)y = 3$

$7y - 2y^2 = 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - 7y + 3 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$

Корни уравнения для $\text{y}$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $\text{x}$ для каждого найденного $\text{y}$, используя формулу $x = 7 - 2y$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 7 - 2(3) = 7 - 6 = 1$. Получаем пару $(1, 3)$.

Если $y_2 = \frac{1}{2}$, то $x_2 = 7 - 2(\frac{1}{2}) = 7 - 1 = 6$. Получаем пару $(6, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(1, 3)$, $(6, \frac{1}{2})$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 3y = 7, \\ xy = -2. \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $\text{x}$: $x = 7 + 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(7 + 3y)y = -2$

$7y + 3y^2 = -2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3y^2 + 7y + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$

Корни уравнения для $\text{y}$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7+5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7-5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $\text{x}$, используя $x = 7 + 3y$.

Если $y_1 = -\frac{1}{3}$, то $x_1 = 7 + 3(-\frac{1}{3}) = 7 - 1 = 6$. Получаем пару $(6, -\frac{1}{3})$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 7 + 3(-2) = 7 - 6 = 1$. Получаем пару $(1, -2)$.

Ответ: $(6, -\frac{1}{3})$, $(1, -2)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y + xy = 11, \\ xy(x + y) = 30. \end{cases} $

Это симметричная система. Для ее решения введем новые переменные. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$.

Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 11, \\ uv = 30. \end{cases} $

Новые переменные $\text{u}$ и $\text{v}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.

Найдем корни, разложив на множители:

$(t-5)(t-6) = 0$

Корни: $t_1=5$, $t_2=6$.

Это означает, что возможны два случая для пар $(u, v)$: $(5, 6)$ и $(6, 5)$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, выполнив обратную замену.

Случай 1: $u = x+y = 5$ и $v = xy = 6$.

Получаем систему: $ \begin{cases} x+y=5, \\ xy=6. \end{cases} $

Переменные $\text{x}$ и $\text{y}$ являются корнями уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.

$(z-2)(z-3) = 0$

Корни $z_1 = 2$, $z_2 = 3$. Отсюда получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $u = x+y = 6$ и $v = xy = 5$.

Получаем систему: $ \begin{cases} x+y=6, \\ xy=5. \end{cases} $

Переменные $\text{x}$ и $\text{y}$ являются корнями уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$.

$(z-1)(z-5) = 0$

Корни $z_1 = 1$, $z_2 = 5$. Отсюда получаем еще две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(1, 5)$, $(5, 1)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$.