Номер 9.69, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.69. Найдите целые корни многочлена и разложите его на множители:

1) $x^3-7x-6$;

2) $x^3+9x^2+11x-21$;

3) $x^3-5x^2+3x+1$;

4) $x^3+9x^2+23x+15$;

5) $x^4+3x^3-12x^2-38x-24$;

6) $x^4-6x^3-14x^2-11x-4$.

1) $x^3 - 7x - 6$

Целые корни многочлена могут быть только среди делителей свободного члена $-6$. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Подставим значения, чтобы найти корни:

$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Корень $x_1 = -1$.

$P(-2) = (-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0$. Корень $x_2 = -2$.

$P(3) = 3^3 - 7(3) - 6 = 27 - 21 - 6 = 0$. Корень $x_3 = 3$.

Так как многочлен третьей степени, мы нашли все его корни. Это целые числа: $-1, -2, 3$.

Разложение на множители: $x^3 - 7x - 6 = (x - (-1))(x - (-2))(x - 3) = (x+1)(x+2)(x-3)$.

Ответ: целые корни: $-1, -2, 3$; разложение на множители: $(x+1)(x+2)(x-3)$.

2) $x^3 + 9x^2 + 11x - 21$

Целые корни ищем среди делителей свободного члена $-21$: $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.

Проверкой находим корень $x=1$: $1^3 + 9(1)^2 + 11(1) - 21 = 1 + 9 + 11 - 21 = 0$.

Разделим многочлен на $(x-1)$ (например, по схеме Горнера или делением в столбик). Получим частное $x^2 + 10x + 21$.

Таким образом, $x^3 + 9x^2 + 11x - 21 = (x-1)(x^2 + 10x + 21)$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, его корни $x = -3$ и $x = -7$.

Следовательно, все целые корни исходного многочлена: $1, -3, -7$.

Разложение на множители: $(x-1)(x+3)(x+7)$.

Ответ: целые корни: $1, -3, -7$; разложение на множители: $(x-1)(x+3)(x+7)$.

3) $x^3 - 5x^2 + 3x + 1$

Целые корни ищем среди делителей свободного члена $\text{1}$: $\pm 1$.

Проверим $x=1$: $1^3 - 5(1)^2 + 3(1) + 1 = 1 - 5 + 3 + 1 = 0$. Значит, $x=1$ — корень.

Проверим $x=-1$: $(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 - 5 - 3 + 1 = -8 \neq 0$.

Единственный целый корень — это $\text{1}$.

Разделив многочлен на $(x-1)$, получаем частное $x^2 - 4x - 1$.

Разложение на множители: $(x-1)(x^2 - 4x - 1)$.

Корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x - 1$ равны $2 \pm \sqrt{5}$, они не являются целыми. Дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: целый корень: $\text{1}$; разложение на множители: $(x-1)(x^2 - 4x - 1)$.

4) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$

Целые корни ищем среди делителей свободного члена $15$: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Так как все коэффициенты многочлена положительны, его корни могут быть только отрицательными.

Проверкой находим корень $x=-1$: $(-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$.

Разделим многочлен на $(x+1)$, получим частное $x^2 + 8x + 15$.

Следовательно, $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = (x+1)(x^2 + 8x + 15)$.

Корни квадратного уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$ по теореме Виета равны $-3$ и $-5$.

Все целые корни: $-1, -3, -5$.

Разложение на множители: $(x+1)(x+3)(x+5)$.

Ответ: целые корни: $-1, -3, -5$; разложение на множители: $(x+1)(x+3)(x+5)$.

5) $x^4 + 3x^3 - 12x^2 - 38x - 24$

Целые корни ищем среди делителей свободного члена $-24$.

Проверкой находим корень $x=-1$: $(-1)^4 + 3(-1)^3 - 12(-1)^2 - 38(-1) - 24 = 1 - 3 - 12 + 38 - 24 = 0$.

Разделим многочлен на $(x+1)$, получим частное $x^3 + 2x^2 - 14x - 24$.

Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^3 + 2x^2 - 14x - 24$. Его целые корни также являются делителями $-24$.

Проверкой находим корень $x=-4$: $Q(-4) = (-4)^3 + 2(-4)^2 - 14(-4) - 24 = -64 + 32 + 56 - 24 = 0$.

Разделим $Q(x)$ на $(x+4)$, получим частное $x^2 - 2x - 6$.

Корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 6 = 0$ равны $1 \pm \sqrt{7}$, то есть не являются целыми.

Таким образом, целые корни исходного многочлена: $-1, -4$.

Разложение на множители: $(x+1)(x+4)(x^2 - 2x - 6)$.

Ответ: целые корни: $-1, -4$; разложение на множители: $(x+1)(x+4)(x^2 - 2x - 6)$.

6) $x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$

Целые корни ищем среди делителей свободного члена $-4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверкой находим корень $x=-1$: $(-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0$.

Разделим многочлен на $(x+1)$, получим частное $x^3 - 7x^2 - 7x - 4$.

Теперь ищем целые корни многочлена $Q(x) = x^3 - 7x^2 - 7x - 4$ среди делителей его свободного члена $-4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

$Q(1) = 1-7-7-4 = -17 \neq 0$

$Q(-1) = -1-7+7-4 = -5 \neq 0$

$Q(2) = 8-28-14-4 = -38 \neq 0$

$Q(-2) = -8-28+14-4 = -26 \neq 0$

$Q(4) = 64-112-28-4 = -80 \neq 0$

$Q(-4) = -64-112+28-4 = -152 \neq 0$

Многочлен $Q(x)$ не имеет целых корней. Таким образом, единственный целый корень исходного многочлена — это $x=-1$.

Разложение на множители: $(x+1)(x^3 - 7x^2 - 7x - 4)$.

Ответ: целый корень: $-1$; разложение на множители: $(x+1)(x^3 - 7x^2 - 7x - 4)$.