Номер 9.75, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.73-9.76 решите уравнения.

9.75. 1) $\frac{1}{3x+2} + \frac{3}{5x+6} = \frac{2}{7x+8};$

2) $\frac{12}{x^2-9} + \frac{x}{x+3} = \frac{2}{x-3}.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{3x+2} + \frac{3}{5x+6} = \frac{2}{7x+8} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не обращаются в ноль: $3x+2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$

$5x+6 \neq 0 \implies x \neq -\frac{6}{5}$

$7x+8 \neq 0 \implies x \neq -\frac{8}{7}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(3x+2)(5x+6)$: $ \frac{1(5x+6) + 3(3x+2)}{(3x+2)(5x+6)} = \frac{2}{7x+8} $

Раскроем скобки в числителе левой части: $ \frac{5x+6 + 9x+6}{(3x+2)(5x+6)} = \frac{2}{7x+8} $

Приведем подобные слагаемые в числителе и раскроем скобки в знаменателе: $ \frac{14x+12}{15x^2 + 18x + 10x + 12} = \frac{2}{7x+8} $

$ \frac{14x+12}{15x^2 + 28x + 12} = \frac{2}{7x+8} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе левой части: $ \frac{2(7x+6)}{15x^2 + 28x + 12} = \frac{2}{7x+8} $

Разделим обе части уравнения на 2: $ \frac{7x+6}{15x^2 + 28x + 12} = \frac{1}{7x+8} $

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $ (7x+6)(7x+8) = 1 \cdot (15x^2 + 28x + 12) $

Раскроем скобки в левой части: $ 49x^2 + 56x + 42x + 48 = 15x^2 + 28x + 12 $

$ 49x^2 + 98x + 48 = 15x^2 + 28x + 12 $

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $ (49x^2 - 15x^2) + (98x - 28x) + (48 - 12) = 0 $

$ 34x^2 + 70x + 36 = 0 $

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: $ 17x^2 + 35x + 18 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $: $ D = 35^2 - 4 \cdot 17 \cdot 18 = 1225 - 1224 = 1 $

Найдем корни уравнения по формуле $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $: $ x_1 = \frac{-35 + \sqrt{1}}{2 \cdot 17} = \frac{-35 + 1}{34} = \frac{-34}{34} = -1 $

$ x_2 = \frac{-35 - \sqrt{1}}{2 \cdot 17} = \frac{-35 - 1}{34} = \frac{-36}{34} = -\frac{18}{17} $

Оба найденных корня не совпадают ни с одним из значений, исключенных из ОДЗ. Следовательно, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $ -1; -\frac{18}{17} $.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{12}{x^2-9} + \frac{x}{x+3} = \frac{2}{x-3} $.

Разложим знаменатель $ x^2-9 $ на множители по формуле разности квадратов: $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $

$ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $

Подставим разложенный знаменатель в уравнение: $ \frac{12}{(x-3)(x+3)} + \frac{x}{x+3} = \frac{2}{x-3} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-3)(x+3) $, чтобы избавиться от дробей. Это преобразование равносильно на ОДЗ. $ 12 \cdot 1 + x(x-3) = 2(x+3) $

Раскроем скобки: $ 12 + x^2 - 3x = 2x + 6 $

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ x^2 - 3x - 2x + 12 - 6 = 0 $

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $. Также можно решить через разложение на множители: $ (x-2)(x-3) = 0 $

Отсюда получаем два потенциальных корня: $ x = 2 $ или $ x = 3 $.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $).

Корень $ x = 2 $ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $ x = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $ x^2-9 $ и $ x-3 $ обращаются в ноль. Следовательно, $ x=3 $ — посторонний корень.

Ответ: $ 2 $.