Номер 9.78, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.78. 1) $\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 3x + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} - 16;$

2) $\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4} = 2x + 2\sqrt{x^2 - 16}.$

1)Решим уравнение $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ 2x^2+5x+3 \ge 0 \end{cases} $

Из первых двух неравенств получаем $x \ge -1.5$ и $x \ge -1$. Объединяя, имеем $x \ge -1$.

Рассмотрим третье неравенство. Разложим квадратный трехчлен на множители: $2x^2+5x+3 = (2x+3)(x+1)$.

Неравенство $(2x+3)(x+1) \ge 0$ выполняется, когда $x \ge -1$ или $x \le -1.5$.

Пересекая все условия ($x \ge -1.5$, $x \ge -1$, и ($x \ge -1$ или $x \le -1.5$)), получаем ОДЗ: $x \ge -1$.

Заметим, что подкоренное выражение $2x^2+5x+3$ является произведением двух других подкоренных выражений: $(2x+3)(x+1)$.

Перепишем исходное уравнение:

$\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 3x + 2\sqrt{(2x+3)(x+1)} - 16$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1}$. Так как корень арифметический, $y \ge 0$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$y^2 = (\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1})^2 = (2x+3) + (x+1) + 2\sqrt{(2x+3)(x+1)} = 3x+4 + 2\sqrt{2x^2+5x+3}$.

Теперь выразим правую часть исходного уравнения через $y^2$:

$3x + 2\sqrt{2x^2+5x+3} - 16 = (3x+4 + 2\sqrt{2x^2+5x+3}) - 4 - 16 = y^2 - 20$.

Подставим это в исходное уравнение, которое примет вид:

$y = y^2 - 20$.

Получили квадратное уравнение относительно $\text{y}$:

$y^2 - y - 20 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1=5$ и $y_2=-4$.

Так как мы определили, что $y \ge 0$, корень $y=-4$ является посторонним. Остается $y=5$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 5$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{2x+3} = 5 - \sqrt{x+1}$.

Возведем обе части в квадрат:

$2x+3 = (5 - \sqrt{x+1})^2$

$2x+3 = 25 - 10\sqrt{x+1} + (x+1)$

$2x+3 = 26 + x - 10\sqrt{x+1}$

Снова уединим корень:

$10\sqrt{x+1} = 26 + x - 2x - 3$

$10\sqrt{x+1} = 23 - x$.

Возведем обе части в квадрат. При этом должно выполняться условие $23-x \ge 0$, то есть $x \le 23$.

$100(x+1) = (23-x)^2$

$100x + 100 = 529 - 46x + x^2$

$x^2 - 146x + 429 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-146)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 429 = 21316 - 1716 = 19600 = 140^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{146 - 140}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{146 + 140}{2} = \frac{286}{2} = 143$.

Проверим найденные корни.

Корень $x_1=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$) и условию $x \le 23$.

Корень $x_2=143$ не удовлетворяет условию $x \le 23$, поэтому он является посторонним.

Выполним проверку для $x=3$ в исходном уравнении:

$\sqrt{2(3)+3} + \sqrt{3+1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$.

$3(3) + 2\sqrt{2(3)^2+5(3)+3} - 16 = 9 + 2\sqrt{18+15+3} - 16 = 9 + 2\sqrt{36} - 16 = 9 + 2(6) - 16 = 9+12-16 = 5$.

$5=5$. Равенство верное.

Ответ: $\text{3}$.

2)Решим уравнение $\sqrt{x+4} + \sqrt{x-4} = 2x + 2\sqrt{x^2-16}$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases} $

Из системы неравенств следует, что $x \ge -4$ и $x \ge 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge 4$. При этом условие $x^2-16 \ge 0$ также выполняется.

Заметим, что $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Уравнение имеет ту же структуру, что и в предыдущем пункте.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{x+4} + \sqrt{x-4}$. Поскольку $x \ge 4$, то $y > 0$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$y^2 = (\sqrt{x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (x+4) + (x-4) + 2\sqrt{(x+4)(x-4)} = 2x + 2\sqrt{x^2-16}$.

Мы видим, что правая часть исходного уравнения в точности равна $y^2$.

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$y = y^2$.

Решим это уравнение:

$y^2 - y = 0$

$y(y-1) = 0$.

Отсюда $y=0$ или $y=1$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $y=0$.

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-4} = 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, только если каждое из них равно нулю.

$\sqrt{x+4}=0 \implies x=-4$.

$\sqrt{x-4}=0 \implies x=4$.

Поскольку $\text{x}$ не может одновременно быть равен $-4$ и $\text{4}$, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y=1$.

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-4} = 1$.

Мы должны найти решение этого уравнения при условии $x \ge 4$.

Рассмотрим левую часть как функцию $f(x) = \sqrt{x+4} + \sqrt{x-4}$ на ее области определения $x \ge 4$.

Эта функция является возрастающей. Найдем ее минимальное значение, которое достигается при $x=4$:

$f(4) = \sqrt{4+4} + \sqrt{4-4} = \sqrt{8} + 0 = 2\sqrt{2}$.

Так как $2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$, то $2\sqrt{2} > 1$.

Минимальное значение левой части уравнения больше, чем правая часть. Это означает, что равенство $\sqrt{x+4} + \sqrt{x-4} = 1$ никогда не достигается.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

К этому же выводу можно прийти, если попытаться решить уравнение алгебраически. Возведя в квадрат, получим $7 = -2\sqrt{x-4}$, что невозможно, так как левая часть положительна, а правая — неположительна.

Ответ:корней нет.