Номер 9.72, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.72. Решите уравнение:

1) $(x + \frac{1}{x})^2 - 5(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$;

2) $x^2 + 5x + 8 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$;

3) $x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0$;

4) $10x^4 - 29x^3 + 30x^2 - 29x + 10 = 0$.

1) $(x+\frac{1}{x})^2 - 5(x+\frac{1}{x}) + 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Это уравнение является квадратным относительно выражения $x+\frac{1}{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{t}$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни:

$t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $\text{t}$.

Случай 1: $t = 2$.

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $\text{x}$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

Случай 2: $t = 3$.

$x + \frac{1}{x} = 3$

Умножим обе части на $\text{x}$:

$x^2 + 1 = 3x$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, мы получили три корня: $\text{1}$, $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ и $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\text{1}$; $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

2) $x^2 + 5x + 8 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (5x + \frac{5}{x}) + 8 = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в уравнение:

$(t^2 - 2) + 5t + 8 = 0$

$t^2 + 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = -2$.

$x + \frac{1}{x} = -2$

$x^2 + 1 = -2x$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

Случай 2: $t = -3$.

$x + \frac{1}{x} = -3$

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим с помощью формулы корней:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Получили три корня: $-1$, $\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ и $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $-1$; $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$.

3) $x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0$

Это симметрическое (возвратное) уравнение четвертой степени. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $1 \neq 0$. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $x^2$.

$\frac{x^4}{x^2} - \frac{5x^3}{x^2} + \frac{8x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$

$x^2 - 5x + 8 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 5(x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$

Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$. Как и ранее, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 2) - 5t + 8 = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену (аналогично задаче 1).

Если $x + \frac{1}{x} = 2$, то $x^2 - 2x + 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Если $x + \frac{1}{x} = 3$, то $x^2 - 3x + 1 = 0$, откуда $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\text{1}$; $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

4) $10x^4 - 29x^3 + 30x^2 - 29x + 10 = 0$

Это также симметрическое уравнение. $x=0$ не является корнем ($10 \neq 0$), поэтому разделим уравнение на $x^2$.

$10x^2 - 29x + 30 - \frac{29}{x} + \frac{10}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$10(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 29(x + \frac{1}{x}) + 30 = 0$

Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

$10(t^2 - 2) - 29t + 30 = 0$

$10t^2 - 20 - 29t + 30 = 0$

$10t^2 - 29t + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $\text{t}$. Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$.

$t = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 \pm 21}{20}$

$t_1 = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = \frac{5}{2}$.

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

Умножим на $2x$:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$x = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{5+3}{4} = 2$, $x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $t = \frac{2}{5}$.

$x + \frac{1}{x} = \frac{2}{5}$

Умножим на $5x$:

$5x^2 + 5 = 2x$

$5x^2 - 2x + 5 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 4 - 100 = -96$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{1}{2}$; $\text{2}$.