Номер 9.76, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.73-9.76 решите уравнения.

9.76. 1) $\frac{2x^2-5x+4}{3x-2} + \frac{15x-10}{2x^2-5x+4} = 6$

2) $\frac{x^2+5x-1}{2x-1} + \frac{2x-1}{x^2+5x-1} = 5,2$

1) $\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} + \frac{15x - 10}{2x^2 - 5x + 4} = 6$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

1. $3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3}$.

2. $2x^2 - 5x + 4 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($2 > 0$), выражение $2x^2 - 5x + 4$ всегда больше нуля при любом значении $\text{x}$.

Заметим, что числитель второй дроби можно преобразовать: $15x - 10 = 5(3x - 2)$.

Тогда уравнение примет вид:

$\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} + \frac{5(3x - 2)}{2x^2 - 5x + 4} = 6$

Это уравнение удобно решать с помощью введения новой переменной. Пусть $y = \frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2}$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$y + \frac{5}{y} = 6$

Умножим все члены уравнения на $\text{y}$ (так как $y \neq 0$, поскольку числитель $2x^2 - 5x + 4$ никогда не равен нулю):

$y^2 + 5 = 6y$

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корнями являются $y_1 = 1$ и $y_2 = 5$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $\text{y}$.

Случай 1: $y = 1$

$\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} = 1$

$2x^2 - 5x + 4 = 3x - 2$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{2}{3}$).

Случай 2: $y = 5$

$\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} = 5$

$2x^2 - 5x + 4 = 5(3x - 2)$

$2x^2 - 5x + 4 = 15x - 10$

$2x^2 - 20x + 14 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 10x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 100 - 28 = 72$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{10 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 3\sqrt{2}$

Получаем еще два корня: $x_3 = 5 - 3\sqrt{2}$ и $x_4 = 5 + 3\sqrt{2}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 3; 5 - 3\sqrt{2}; 5 + 3\sqrt{2}$.

2) $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x^2 + 5x - 1} = 5,2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

1. $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$.

2. $x^2 + 5x - 1 \neq 0$. Найдем корни, которые нужно исключить: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{1}{2}$, $x \neq \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Уравнение имеет вид $A + \frac{1}{A} = C$. Введем замену: пусть $y = \frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1}$.

Тогда уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = 5,2$

Представим $5,2$ в виде обыкновенной дроби: $5,2 = \frac{52}{10} = \frac{26}{5}$.

$y + \frac{1}{y} = \frac{26}{5}$

Умножим обе части на $5y$ (по ОДЗ $y \neq 0$):

$5y^2 + 5 = 26y$

$5y^2 - 26y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{y}$ через дискриминант:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$

$y = \frac{26 \pm 24}{2 \cdot 5} = \frac{26 \pm 24}{10}$

$y_1 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$y_2 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $\text{y}$.

Случай 1: $y = 5$

$\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = 5$

$x^2 + 5x - 1 = 5(2x - 1)$

$x^2 + 5x - 1 = 10x - 5$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = \frac{1}{5}$

$\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = \frac{1}{5}$

$5(x^2 + 5x - 1) = 1(2x - 1)$

$5x^2 + 25x - 5 = 2x - 1$

$5x^2 + 23x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 529 + 80 = 609$

$x = \frac{-23 \pm \sqrt{609}}{10}$

Получаем еще два корня: $x_3 = \frac{-23 - \sqrt{609}}{10}$ и $x_4 = \frac{-23 + \sqrt{609}}{10}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 4; \frac{-23 - \sqrt{609}}{10}; \frac{-23 + \sqrt{609}}{10}$.