Номер 9.70, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.70. Докажите, что для любого натурального числа $\text{n}$ выражение $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится без остатка на 120.

Для доказательства того, что выражение $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом натуральном $\text{n}$, разложим число 120 на простые множители: $120 = 3 \cdot 5 \cdot 8$. Чтобы доказать делимость на 120, достаточно доказать, что выражение делится на 3, 5 и 8, так как эти числа попарно взаимно просты.

Сначала преобразуем исходное выражение, разложив его на множители. Вынесем общий множитель $\text{n}$ за скобки:

$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)$

Выражение в скобках, $n^4 - 5n^2 + 4$, является биквадратным трехчленом. Его можно разложить на множители как квадратный трехчлен относительно $n^2$. Заменив $n^2$ на $\text{x}$, получим $x^2 - 5x + 4$. Корни этого уравнения $x_1=1$ и $x_2=4$. Таким образом, $n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4)$.

Теперь всё выражение имеет вид:

$n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Переставив множители в порядке возрастания, получим произведение пяти последовательных целых чисел:

$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Теперь докажем делимость этого произведения на 3, 5 и 8.

1. Делимость на 3. Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно всегда кратно 3. В произведении пяти последовательных чисел тем более найдется хотя бы один множитель, делящийся на 3. Следовательно, все произведение делится на 3.

2. Делимость на 5. Среди любых пяти последовательных натуральных чисел одно всегда кратно 5. Наше выражение как раз и является произведением пяти таких чисел, поэтому оно всегда делится на 5.

3. Делимость на 8. В последовательности из пяти идущих подряд чисел есть как минимум два четных числа. Рассмотрим любую пару последовательных четных чисел (такая пара всегда найдется в последовательности из 4 и более чисел). Их можно записать как $2k$ и $2k+2$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Так как $\text{k}$ и $k+1$ — два последовательных числа, одно из них четное, значит их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Тогда $4k(k+1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$. Таким образом, произведение пяти последовательных чисел всегда делится на 8.

Поскольку выражение делится на 3, на 5 и на 8, и эти числа являются попарно взаимно простыми, оно также делится на их произведение $3 \cdot 5 \cdot 8 = 120$.

Таким образом, доказано, что выражение $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 для любого натурального числа $\text{n}$.

Ответ: Утверждение доказано.