Номер 9.77, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.77 – 9.82 решите уравнения.

9.77. 1) $\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x-2} = 4$; 2) $\sqrt{x} + \sqrt{x+9} = 2$.

1) $\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x-2} = 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 4x+2 \ge 0 \\ 4x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x \ge -2 \\ 4x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1/2 \\ x \ge 1/2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 1/2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1/2, +\infty)$.

Для решения уравнения воспользуемся методом введения новых переменных. Пусть $u = \sqrt{4x+2}$ и $v = \sqrt{4x-2}$. Заметим, что $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Исходное уравнение примет вид: $u + v = 4$.

Теперь выразим $u^2$ и $v^2$:

$u^2 = (\sqrt{4x+2})^2 = 4x+2$

$v^2 = (\sqrt{4x-2})^2 = 4x-2$

Найдем разность $u^2$ и $v^2$:

$u^2 - v^2 = (4x+2) - (4x-2) = 4x+2-4x+2 = 4$.

С другой стороны, $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$.

Получаем уравнение: $(u-v)(u+v) = 4$.

Так как из исходного уравнения мы знаем, что $u+v=4$, подставим это значение:

$(u-v) \cdot 4 = 4$

$u-v = 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно $\text{u}$ и $\text{v}$:

$\begin{cases} u+v=4 \\ u-v=1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(u+v) + (u-v) = 4+1 \Rightarrow 2u = 5 \Rightarrow u = 5/2$.

Подставим значение $\text{u}$ в первое уравнение: $5/2 + v = 4 \Rightarrow v = 4 - 5/2 = 8/2 - 5/2 = 3/2$.

Теперь вернемся к переменной $\text{x}$. Можно использовать любое из выражений для $\text{u}$ или $\text{v}$. Возьмем $u=5/2$:

$\sqrt{4x+2} = 5/2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4x+2 = (5/2)^2$

$4x+2 = 25/4$

$4x = 25/4 - 2$

$4x = 25/4 - 8/4$

$4x = 17/4$

$x = 17/16$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 1/2$).

$17/16 = 1 \frac{1}{16}$. Так как $1 \frac{1}{16} \ge 1/2$, корень подходит. Выполним проверку, подставив корень в исходное уравнение:

$\sqrt{4 \cdot \frac{17}{16} + 2} + \sqrt{4 \cdot \frac{17}{16} - 2} = \sqrt{\frac{17}{4} + \frac{8}{4}} + \sqrt{\frac{17}{4} - \frac{8}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $17/16$.

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x+9} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+9 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -9 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

Рассмотрим функцию в левой части уравнения $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+9}$ на ее области определения $x \ge 0$.

Эта функция является возрастающей как сумма двух возрастающих функций ($\sqrt{x}$ и $\sqrt{x+9}$).

Найдем ее наименьшее значение, которое достигается при наименьшем возможном значении $\text{x}$, то есть при $x=0$:

$f(0) = \sqrt{0} + \sqrt{0+9} = 0 + 3 = 3$.

Поскольку функция $f(x)$ возрастает, для любого $x \ge 0$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(0)$, то есть $\sqrt{x} + \sqrt{x+9} \ge 3$.

Это означает, что левая часть уравнения всегда больше или равна 3 и, следовательно, не может равняться 2. Поэтому уравнение не имеет решений.

Альтернативный способ решения:

Уединим один из корней: $\sqrt{x+9} = 2 - \sqrt{x}$.

Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной: $2 - \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \le 2 \Rightarrow x \le 4$. С учетом ОДЗ, $x \in [0, 4]$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+9})^2 = (2 - \sqrt{x})^2$

$x+9 = 4 - 4\sqrt{x} + x$

$9 = 4 - 4\sqrt{x}$

$5 = -4\sqrt{x}$

$\sqrt{x} = -5/4$

Это уравнение не имеет решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.