Номер 9.80, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.80. 1) $\sqrt[4]{629-x} + \sqrt[4]{77+x} = 8;$

2) $x \cdot \sqrt[3]{35-x^3} \cdot (x + \sqrt[3]{35-x^3}) = 30.$

1)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt[4]{629 - x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $\text{x}$ определяется условиями неотрицательности подкоренных выражений: $629 - x \ge 0 \implies x \le 629$ $77 + x \ge 0 \implies x \ge -77$ Таким образом, ОДЗ: $x \in [-77, 629]$.

Для решения введем замены: Пусть $a = \sqrt[4]{629 - x}$ и $b = \sqrt[4]{77 + x}$. Так как корни четвертой степени, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Исходное уравнение принимает вид: $a + b = 8$.

Найдем еще одно соотношение между $\text{a}$ и $\text{b}$. Возведем обе замены в четвертую степень: $a^4 = 629 - x$ $b^4 = 77 + x$ Сложим эти два уравнения, чтобы избавиться от $\text{x}$: $a^4 + b^4 = (629 - x) + (77 + x) = 706$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с переменными $\text{a}$ и $\text{b}$: $\begin{cases} a + b = 8 \\ a^4 + b^4 = 706 \end{cases}$

Выразим $a^4 + b^4$ через $a+b$ и $ab$. $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 8^2 - 2ab = 64 - 2ab$. $a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = (64 - 2ab)^2 - 2(ab)^2$. Подставим известное значение $a^4 + b^4 = 706$: $(64 - 2ab)^2 - 2(ab)^2 = 706$.

Пусть $P = ab$. Тогда уравнение примет вид: $(64 - 2P)^2 - 2P^2 = 706$ $4096 - 256P + 4P^2 - 2P^2 = 706$ $2P^2 - 256P + 4096 - 706 = 0$ $2P^2 - 256P + 3390 = 0$ Разделим на 2: $P^2 - 128P + 1695 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{P}$: Дискриминант $D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1695 = 16384 - 6780 = 9604 = 98^2$. $P_{1,2} = \frac{128 \pm 98}{2}$. $P_1 = \frac{128 - 98}{2} = \frac{30}{2} = 15$. $P_2 = \frac{128 + 98}{2} = \frac{226}{2} = 113$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ab = 15$. У нас есть система: $\begin{cases} a + b = 8 \\ ab = 15 \end{cases}$. По теореме Виета, $\text{a}$ и $\text{b}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$. $(t-3)(t-5) = 0$. Корни: $t_1 = 3, t_2 = 5$. Получаем два набора решений для $(a, b)$: $(3, 5)$ и $(5, 3)$. Если $a=3, b=5$: $a = \sqrt[4]{629 - x} = 3 \implies 629 - x = 3^4 = 81 \implies x = 629 - 81 = 548$. Проверим $\text{b}$: $\sqrt[4]{77 + 548} = \sqrt[4]{625} = 5$. Верно. Если $a=5, b=3$: $a = \sqrt[4]{629 - x} = 5 \implies 629 - x = 5^4 = 625 \implies x = 629 - 625 = 4$. Проверим $\text{b}$: $\sqrt[4]{77 + 4} = \sqrt[4]{81} = 3$. Верно. Оба корня, $x=548$ и $x=4$, принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $ab = 113$. У нас есть система: $\begin{cases} a + b = 8 \\ ab = 113 \end{cases}$. По теореме Виета, $\text{a}$ и $\text{b}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 113 = 0$. Дискриминант этого уравнения: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 113 = 64 - 452 = -388 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней. Поскольку $\text{a}$ и $\text{b}$ должны быть действительными и неотрицательными, этот случай не дает решений.

Таким образом, мы получили два решения исходного уравнения.

Ответ: $4; 548$.

2)

Дано уравнение: $x \cdot \sqrt[3]{35 - x^3} \cdot (x + \sqrt[3]{35 - x^3}) = 30$.

Так как в уравнении используется кубический корень, ОДЗ для $\text{x}$ - все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Для решения введем замены: Пусть $a = x$ и $b = \sqrt[3]{35 - x^3}$.

Исходное уравнение принимает вид: $a \cdot b \cdot (a + b) = 30$.

Найдем еще одно соотношение между $\text{a}$ и $\text{b}$. Из второй замены возведением в куб получаем: $b^3 = 35 - x^3$. Так как $a = x$, мы можем записать: $b^3 = 35 - a^3$, что эквивалентно $a^3 + b^3 = 35$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с переменными $\text{a}$ и $\text{b}$: $\begin{cases} ab(a+b) = 30 \\ a^3 + b^3 = 35 \end{cases}$

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$. Подставим известные значения из нашей системы: $35 = (a+b)^3 - 3 \cdot 30$. $35 = (a+b)^3 - 90$. $(a+b)^3 = 35 + 90 = 125$. $a+b = \sqrt[3]{125} = 5$.

Теперь, зная $a+b$, найдем $ab$: $ab(a+b) = 30 \implies ab \cdot 5 = 30 \implies ab = 6$.

Мы получили новую систему для $\text{a}$ и $\text{b}$: $\begin{cases} a + b = 5 \\ ab = 6 \end{cases}$

По теореме Виета, $\text{a}$ и $\text{b}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. $(t-2)(t-3) = 0$. Корни: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Получаем два набора решений для $(a, b)$: $(2, 3)$ и $(3, 2)$. Вспомним, что $a=x$.

Случай 1: $a=2, b=3$. $x=2$. Проверим это, подставив в выражение для $\text{b}$: $b = \sqrt[3]{35 - x^3} = \sqrt[3]{35 - 2^3} = \sqrt[3]{35 - 8} = \sqrt[3]{27} = 3$. Верно.

Случай 2: $a=3, b=2$. $x=3$. Проверим это, подставив в выражение для $\text{b}$: $b = \sqrt[3]{35 - x^3} = \sqrt[3]{35 - 3^3} = \sqrt[3]{35 - 27} = \sqrt[3]{8} = 2$. Верно.

Таким образом, мы получили два решения исходного уравнения.

Ответ: $2; 3$.