Номер 9.73, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.73-9.76 решите уравнения.

9.73. 1) $\frac{3x+1}{5x-6} = 0;$

2) $\frac{9x^2-1}{3x+1} = 0;$

3) $\frac{5x+7}{49-25x^2} = 0.$

1) Чтобы решить уравнение $ \frac{3x+1}{5x-6} = 0 $, необходимо найти значения $\text{x}$, при которых числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Дробь равна нулю, если выполняется система условий:

$ \begin{cases} 3x+1 = 0 \\ 5x-6 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$ 3x+1 = 0 $

$ 3x = -1 $

$ x = -\frac{1}{3} $

Теперь проверим, выполняется ли для этого значения $\text{x}$ условие, что знаменатель не равен нулю:

$ 5x-6 \neq 0 $

$ 5x \neq 6 $

$ x \neq \frac{6}{5} $

Поскольку $ -\frac{1}{3} \neq \frac{6}{5} $, корень $ x = -\frac{1}{3} $ является решением уравнения.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $

2) Решим уравнение $ \frac{9x^2-1}{3x+1} = 0 $. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Составим систему условий:

$ \begin{cases} 9x^2-1 = 0 \\ 3x+1 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ 9x^2-1 = 0 $

$ (3x)^2 - 1^2 = 0 $

$ (3x-1)(3x+1) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ 3x-1=0 $ или $ 3x+1=0 $

$ 3x=1 $ или $ 3x=-1 $

$ x_1 = \frac{1}{3} $ или $ x_2 = -\frac{1}{3} $

Теперь проверим условие неравенства знаменателя нулю:

$ 3x+1 \neq 0 $

$ 3x \neq -1 $

$ x \neq -\frac{1}{3} $

Сравниваем полученные корни с этим ограничением. Корень $ x_2 = -\frac{1}{3} $ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Этот корень является посторонним. Корень $ x_1 = \frac{1}{3} $ удовлетворяет условию.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ \frac{1}{3} $

3) Решим уравнение $ \frac{5x+7}{49-25x^2} = 0 $. Уравнение имеет смысл, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Система условий:

$ \begin{cases} 5x+7 = 0 \\ 49-25x^2 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$ 5x+7 = 0 $

$ 5x = -7 $

$ x = -\frac{7}{5} $

Теперь проверим условие для знаменателя. Используем формулу разности квадратов:

$ 49-25x^2 \neq 0 $

$ 7^2 - (5x)^2 \neq 0 $

$ (7-5x)(7+5x) \neq 0 $

Это означает, что:

$ 7-5x \neq 0 \implies 5x \neq 7 \implies x \neq \frac{7}{5} $

и

$ 7+5x \neq 0 \implies 5x \neq -7 \implies x \neq -\frac{7}{5} $

Корень $ x = -\frac{7}{5} $, полученный из числителя, совпадает с одним из значений, при которых знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это значение не может быть решением уравнения.

Так как единственный кандидат в корни не удовлетворяет области допустимых значений, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет