Номер 9.71, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.71. Решите уравнение:

1) $x^4 - 5x^2 + 7 = 0;$

2) $7x^4 - x^2 - 6 = 0;$

3) $3x^4 - 5x^2 + 2 = 0;$

4) $(5x^2 + x + 1)^2 - (5x^2 + x + 1) - 2 = 0;$

5) $(3x^2 - x - 1)^2 - 18x^2 + 6x - 1 = 0.$

1)

Дано биквадратное уравнение $x^4 - 5x^2 + 7 = 0$.

Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, имеем условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $\text{t}$:

$t^2 - 5t + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней для $\text{t}$. Следовательно, и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

2)

Дано биквадратное уравнение $7x^4 - x^2 - 6 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$7t^2 - t - 6 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 1 + 168 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $\text{t}$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 13}{2 \cdot 7} = \frac{1 \pm 13}{14}$

$t_1 = \frac{1 + 13}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{1 - 13}{14} = -\frac{12}{14} = -\frac{6}{7}$

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 1$. Корень $t_2 = -6/7$ не подходит, так как $\text{t}$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 1$

Отсюда находим корни исходного уравнения:

$x = \pm 1$

Ответ: $-1; 1$.

3)

Дано биквадратное уравнение $3x^4 - 5x^2 + 2 = 0$.

Введем замену $t = x^2$, при условии $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни для $\text{t}$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$

$t_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1$

$t_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Выполним обратную замену для каждого из них.

1) $x^2 = t_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

2) $x^2 = t_2 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 1; -\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{3}$.

4)

Дано уравнение $(5x^2 + x + 1)^2 - (5x^2 + x + 1) - 2 = 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному, введя замену. Пусть $y = 5x^2 + x + 1$.

Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=2$ и $y_2=-1$. (Проверка: $2+(-1)=1$, $2 \cdot (-1)=-2$)

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $\text{y}$.

1) $y = 2$

$5x^2 + x + 1 = 2$

$5x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21$

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{10}$

2) $y = -1$

$5x^2 + x + 1 = -1$

$5x^2 + x + 2 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 - 40 = -39$

Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{21}}{10}; \frac{-1 + \sqrt{21}}{10}$.

5)

Дано уравнение $(3x^2 - x - 1)^2 - 18x^2 + 6x - 1 = 0$.

Преобразуем часть уравнения: $-18x^2 + 6x - 1 = -6(3x^2 - x) - 1$.

Уравнение можно переписать как:

$(3x^2 - x - 1)^2 - 6(3x^2 - x) - 1 = 0$

Введем замену $t = 3x^2 - x - 1$. Отсюда $3x^2 - x = t + 1$.

Подставим в уравнение:

$t^2 - 6(t+1) - 1 = 0$

$t^2 - 6t - 6 - 1 = 0$

$t^2 - 6t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1=7$ и $t_2=-1$. (Проверка: $7+(-1)=6$, $7 \cdot (-1)=-7$)

Выполним обратную замену для каждого значения $\text{t}$.

1) $t = 7$

$3x^2 - x - 1 = 7$

$3x^2 - x - 8 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 1 + 96 = 97$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{6}$

2) $t = -1$

$3x^2 - x - 1 = -1$

$3x^2 - x = 0$

$x(3x - 1) = 0$

Отсюда $x_3 = 0$ или $3x-1=0 \Rightarrow x_4 = \frac{1}{3}$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $0; \frac{1}{3}; \frac{1 - \sqrt{97}}{6}; \frac{1 + \sqrt{97}}{6}$.