Номер 9.68, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.68. Пусть число $\alpha$ является целым корнем многочлена $f(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n$, где $a_1, a_2, ..., a_n$ – целые числа. Докажите, что число $a_n$ делится на $\alpha$ без остатка.

По условию задачи, $\alpha$ является целым корнем многочлена $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$, где все коэффициенты $a_1, a_2, \dots, a_n$ также являются целыми числами.

По определению корня, значение многочлена в точке $\alpha$ равно нулю: $f(\alpha) = 0$.

Запишем это равенство, подставив $\alpha$ в многочлен:

$\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + \dots + a_{n-1}\alpha + a_n = 0$

Изолируем свободный член $a_n$ в левой части уравнения, перенеся все остальные члены в правую часть:

$a_n = -\alpha^n - a_1\alpha^{n-1} - \dots - a_{n-1}\alpha$

В правой части полученного выражения вынесем общий множитель $\alpha$ за скобки:

$a_n = \alpha(-\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - \dots - a_{n-1})$

Рассмотрим множитель, стоящий в скобках: $K = -\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - \dots - a_{n-1}$.

Поскольку по условию корень $\alpha$ и все коэффициенты $a_i$ являются целыми числами, а множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, то и значение выражения $\text{K}$ является целым числом.

Таким образом, мы представили $a_n$ как произведение двух целых чисел: $a_n = \alpha \cdot K$. Согласно определению делимости, это означает, что число $a_n$ делится на число $\alpha$ без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $a_n$ делится на $\alpha$ без остатка.