Номер 9.79, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.79. 1) $\sqrt{2x^2 + 5x + 2} + \sqrt{2x^2 + 5x - 9} = 1;$

2) $\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} - \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6};$

3) $x + \sqrt{17 - x^2} + x\sqrt{17 - x^2} = 9.$

1) Дано уравнение $\sqrt{2x^2 + 5x + 2} + \sqrt{2x^2 + 5x - 9} = 1$. Введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = 2x^2 + 5x$. Тогда уравнение примет вид: $\sqrt{y + 2} + \sqrt{y - 9} = 1$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $\text{y}$. Выражения под корнями должны быть неотрицательными: $y + 2 \ge 0 \implies y \ge -2$ $y - 9 \ge 0 \implies y \ge 9$ Объединяя эти условия, получаем, что $y \ge 9$. Рассмотрим левую часть уравнения, функцию $f(y) = \sqrt{y + 2} + \sqrt{y - 9}$ на области $y \ge 9$. Эта функция является возрастающей, так как является суммой двух возрастающих функций. Найдем ее наименьшее значение. Оно достигается в крайней точке области определения, то есть при $y=9$. $f(9) = \sqrt{9 + 2} + \sqrt{9 - 9} = \sqrt{11} + 0 = \sqrt{11}$. Так как $\sqrt{11} > \sqrt{9} = 3$, то $\sqrt{11} > 1$. Следовательно, наименьшее значение левой части уравнения равно $\sqrt{11}$, что больше 1. Таким образом, уравнение $\sqrt{y + 2} + \sqrt{y - 9} = 1$ не имеет решений для $\text{y}$. Значит, и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

2) Дано уравнение $\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} - \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6}$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). 1. $6x - 9 \ge 0 \implies 6x \ge 9 \implies x \ge \frac{3}{2}$. 2. $x - \sqrt{6x - 9} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{6x - 9}$. Так как при $x \ge \frac{3}{2}$ обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат: $x^2 \ge 6x - 9 \implies x^2 - 6x + 9 \ge 0 \implies (x - 3)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого $\text{x}$. Итак, ОДЗ: $x \ge \frac{3}{2}$. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат: $(\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} - \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}})^2 = (\sqrt{6})^2$ $(x + \sqrt{6x - 9}) - 2\sqrt{(x + \sqrt{6x - 9})(x - \sqrt{6x - 9})} + (x - \sqrt{6x - 9}) = 6$ $2x - 2\sqrt{x^2 - (6x - 9)} = 6$ $2x - 2\sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6$ Разделим обе части на 2: $x - \sqrt{(x - 3)^2} = 3$ $x - |x - 3| = 3$. Рассмотрим два случая: Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид: $x - (x - 3) = 3$ $x - x + 3 = 3$ $3 = 3$. Это тождество, верное для всех $\text{x}$ из рассматриваемого промежутка. Таким образом, все $x \ge 3$ являются решениями. Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$. С учетом ОДЗ ($x \ge \frac{3}{2}$), рассматриваем промежуток $\frac{3}{2} \le x < 3$. В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид: $x - (3 - x) = 3$ $2x - 3 = 3$ $2x = 6$ $x = 3$. Это значение не входит в промежуток $\frac{3}{2} \le x < 3$, поэтому в этом случае решений нет. Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решением уравнения является $x \ge 3$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

3) Дано уравнение $x + \sqrt{17 - x^2} + x\sqrt{17 - x^2} = 9$. ОДЗ: $17 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 17 \implies -\sqrt{17} \le x \le \sqrt{17}$. Сделаем замену. Пусть $u = x$ и $v = \sqrt{17 - x^2}$. Заметим, что $v \ge 0$. Из замены следует, что $v^2 = 17 - x^2 = 17 - u^2$, откуда $u^2 + v^2 = 17$. Исходное уравнение в новых переменных примет вид: $u + v + uv = 9$. Получили систему уравнений: $\begin{cases} u + v + uv = 9 \\ u^2 + v^2 = 17 \end{cases}$ Для решения этой системы введем еще одни замены: $S = u + v$ (сумма) и $P = uv$ (произведение). Выразим $u^2 + v^2$ через $\text{S}$ и $\text{P}$: $u^2 + v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P$. Система примет вид: $\begin{cases} S + P = 9 \\ S^2 - 2P = 17 \end{cases}$ Из первого уравнения выразим $\text{P}$: $P = 9 - S$. Подставим во второе уравнение: $S^2 - 2(9 - S) = 17$ $S^2 - 18 + 2S = 17$ $S^2 + 2S - 35 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $\text{S}$. По теореме Виета, корни $S_1 = 5$ и $S_2 = -7$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $S = 5$. Тогда $P = 9 - S = 9 - 5 = 4$. Мы ищем $\text{u}$ и $\text{v}$ такие, что $u+v=5$ и $uv=4$. По обратной теореме Виета, $\text{u}$ и $\text{v}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Значит, возможны два варианта: $(u, v) = (1, 4)$ или $(u, v) = (4, 1)$. Оба варианта удовлетворяют условию $v \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x=u$: Если $u=1$, то $x=1$. Проверим: $v = \sqrt{17 - 1^2} = \sqrt{16} = 4$. Совпадает. Значит, $x=1$ - корень. Если $u=4$, то $x=4$. Проверим: $v = \sqrt{17 - 4^2} = \sqrt{1} = 1$. Совпадает. Значит, $x=4$ - корень. Случай 2: $S = -7$. Тогда $P = 9 - S = 9 - (-7) = 16$. Мы ищем $\text{u}$ и $\text{v}$ такие, что $u+v=-7$ и $uv=16$. Они являются корнями уравнения $t^2 - (-7)t + 16 = 0$, то есть $t^2 + 7t + 16 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет. В этом случае решений нет. Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 4$.