Номер 9.86, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.83-9.86 решите уравнения.

9.86. 1) $||2x-8|-x|=7-x$;

2) $||2x-1|-5|+x=|6-x|$.

1) Решим уравнение $||2x-8|-x| = 7-x$.

По определению модуля, правая часть уравнения не может быть отрицательной. Следовательно, должно выполняться условие $7-x \ge 0$, что означает $x \le 7$.

Уравнение вида $|A|=B$ равносильно совокупности двух систем: $A=B$ или $A=-B$, при условии $B \ge 0$. В нашем случае рассмотрим два варианта:

а) $|2x-8|-x = 7-x$.

Перенесем $-x$ в правую часть:

$|2x-8| = 7$.

Это уравнение распадается на два:

$2x-8 = 7 \implies 2x = 15 \implies x = 7.5$.

$2x-8 = -7 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.

Проверяем найденные корни по условию $x \le 7$. Корень $x=7.5$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $x=0.5$ удовлетворяет условию ($0.5 \le 7$).

б) $|2x-8|-x = -(7-x)$.

$|2x-8|-x = x-7$.

$|2x-8| = 2x-7$.

Для этого уравнения должно выполняться условие $2x-7 \ge 0$, то есть $x \ge 3.5$. С учетом первоначального ограничения $x \le 7$, решения для этого случая нужно искать в промежутке $[3.5; 7]$.

Раскрываем модуль:

$2x-8 = 2x-7 \implies -8 = -7$. Это неверное равенство, решений нет.

$2x-8 = -(2x-7) \implies 2x-8 = -2x+7 \implies 4x = 15 \implies x = \frac{15}{4} = 3.75$.

Проверяем корень $x=3.75$ по условию $3.5 \le x \le 7$. Корень удовлетворяет этому условию ($3.5 \le 3.75 \le 7$).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $0.5; 3.75$.

2) Решим уравнение $||2x-1|-5|+x = |6-x|$ методом интервалов.

Найдем точки, в которых выражения под знаками модуля обращаются в ноль. Эти точки разделят числовую ось на интервалы, в каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.

1. $6-x = 0 \implies x = 6$.

2. $2x-1 = 0 \implies x = 0.5$.

3. $|2x-1|-5 = 0 \implies |2x-1|=5$. Это дает два уравнения:

$2x-1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.

$2x-1 = -5 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

Таким образом, у нас есть четыре критические точки: $-2, 0.5, 3, 6$. Они делят числовую ось на пять промежутков. Раскроем модули на каждом из них.

Случай 1: $x < -2$.

На этом интервале: $2x-1 < 0$, $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.

$|2x-1|-5 = 1-2x-5 = -2x-4$. Так как $x < -2$, то $-2x > 4$, значит $-2x-4 > 0$.

Тогда $||2x-1|-5| = -2x-4$.

$6-x > 0$, поэтому $|6-x| = 6-x$.

Уравнение принимает вид: $(-2x-4) + x = 6-x \implies -x-4 = 6-x \implies -4=6$. Решений нет.

Случай 2: $-2 \le x < 0.5$.

$2x-1 < 0 \implies |2x-1| = 1-2x$.

$|2x-1|-5 = 1-2x-5 = -2x-4$. Так как $-2 \le x < 0.5$, то $-1 < -2x \le 4$, значит $-5 < -2x-4 \le 0$.

Тогда $||2x-1|-5| = -(-2x-4) = 2x+4$.

$6-x > 0 \implies |6-x| = 6-x$.

Уравнение: $(2x+4)+x = 6-x \implies 3x+4 = 6-x \implies 4x=2 \implies x=0.5$.

Корень $x=0.5$ не входит в рассматриваемый интервал $[-2; 0.5)$.

Случай 3: $0.5 \le x < 3$.

$2x-1 \ge 0 \implies |2x-1| = 2x-1$.

$|2x-1|-5 = 2x-1-5 = 2x-6$. Так как $0.5 \le x < 3$, то $1 \le 2x < 6$, значит $-5 \le 2x-6 < 0$.

Тогда $||2x-1|-5| = -(2x-6) = 6-2x$.

$6-x > 0 \implies |6-x| = 6-x$.

Уравнение: $(6-2x)+x = 6-x \implies 6-x=6-x$.

Это тождество, верное для всех $\text{x}$ из данного интервала. Следовательно, весь промежуток $[0.5; 3)$ является решением.

Случай 4: $3 \le x < 6$.

$2x-1 > 0 \implies |2x-1| = 2x-1$.

$|2x-1|-5 = 2x-6 \ge 0$.

Тогда $||2x-1|-5| = 2x-6$.

$6-x > 0 \implies |6-x| = 6-x$.

Уравнение: $(2x-6)+x = 6-x \implies 3x-6 = 6-x \implies 4x=12 \implies x=3$.

Корень $x=3$ принадлежит рассматриваемому интервалу $[3; 6)$.

Случай 5: $x \ge 6$.

$2x-1 > 0 \implies |2x-1| = 2x-1$.

$|2x-1|-5 = 2x-6 \ge 0$.

Тогда $||2x-1|-5| = 2x-6$.

$6-x \le 0 \implies |6-x| = -(6-x) = x-6$.

Уравнение: $(2x-6)+x = x-6 \implies 3x-6 = x-6 \implies 2x=0 \implies x=0$.

Корень $x=0$ не входит в интервал $x \ge 6$.

Объединим полученные результаты: решением является интервал $[0.5; 3)$ и точка $x=3$. Вместе они образуют отрезок $[0.5; 3]$.

Ответ: $[0.5; 3]$.