Номер 9.88, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.88. Решите уравнение для любого значения параметра a:

1) $|x+3| - a(x-1) = 4;$

2) $3|x-2| - a|2x+3| = 10,5.$

1)

Решим уравнение $|x+3| - a(x - 1) = 4$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x+3| = x+3$. Уравнение принимает вид:

$x+3 - a(x-1) = 4$

$x+3 - ax + a = 4$

$x(1-a) = 1-a$

Возможны два подслучая:

а) Если $1-a \ne 0$, то есть $a \ne 1$, то $x = \frac{1-a}{1-a} = 1$.

Проверим условие $x \ge -3$: $1 \ge -3$. Условие выполняется. Следовательно, $x=1$ является корнем при любом $a \ne 1$.

б) Если $1-a = 0$, то есть $a=1$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 0$. Это верное равенство для любого $\text{x}$.

Учитывая условие этого случая $x \ge -3$, получаем, что при $a=1$ решениями являются все $x \in [-3, +\infty)$.

Случай 2: $x+3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x+3| = -(x+3) = -x-3$. Уравнение принимает вид:

$-x-3 - a(x-1) = 4$

$-x-3 - ax + a = 4$

$-x(1+a) = 7-a$

$x(1+a) = a-7$

Возможны два подслучая:

а) Если $1+a \ne 0$, то есть $a \ne -1$, то $x = \frac{a-7}{a+1}$.

Проверим, при каких значениях $\text{a}$ этот корень удовлетворяет условию $x < -3$:

$\frac{a-7}{a+1} < -3$

$\frac{a-7}{a+1} + 3 < 0$

$\frac{a-7+3(a+1)}{a+1} < 0$

$\frac{4a-4}{a+1} < 0$

$\frac{a-1}{a+1} < 0$

Это неравенство выполняется при $a \in (-1, 1)$.

б) Если $1+a = 0$, то есть $a=-1$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = -1-7$, или $0 = -8$.

Это неверное равенство, следовательно, при $a=-1$ в этом случае решений нет.

Соберем все результаты:

1. Если $a > 1$ или $a < -1$, то из случая 1а) имеем корень $x=1$. В случае 2а) условие $a \in (-1, 1)$ не выполняется, поэтому второго корня нет. Значит, при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ решение одно: $x=1$.

2. Если $a = -1$, то из случая 1а) имеем корень $x=1$. Из случая 2б) решений нет. Значит, при $a=-1$ решение $x=1$.

3. Если $a \in (-1, 1)$, то из случая 1а) имеем корень $x=1$, и из случая 2а) имеем корень $x = \frac{a-7}{a+1}$ (так как условие $a \in (-1, 1)$ выполняется). Таким образом, два корня: $x_1=1$ и $x_2=\frac{a-7}{a+1}$.

4. Если $a=1$, то из случая 1б) имеем $x \in [-3, +\infty)$. В случае 2а) корень $x=\frac{1-7}{1+1}=-3$ не удовлетворяет условию $x < -3$. Значит, при $a=1$ решение $x \in [-3, +\infty)$.

Объединяя пункты 1 и 2, получаем:

Ответ: если $a=1$, то $x \in [-3, +\infty)$;

если $a \in (-1, 1)$, то $x_1=1$, $x_2=\frac{a-7}{a+1}$;

если $a \in (-\infty, -1] \cup (1, +\infty)$, то $x=1$.

2)

Решим уравнение $3|x-2| - a|2x+3| = 10,5$.

Нули подмодульных выражений: $x-2=0 \Rightarrow x=2$ и $2x+3=0 \Rightarrow x=-1,5$.

Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них.

Случай 1: $x < -1,5$.

На этом промежутке $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ и $|2x+3| = -(2x+3) = -2x-3$.

$3(2-x) - a(-2x-3) = 10,5$

$6 - 3x + 2ax + 3a = 10,5$

$x(2a-3) = 4,5 - 3a$

$x(2a-3) = -1,5(2a-3)$

а) Если $2a-3 \ne 0$, то есть $a \ne 1,5$, то $x = -1,5$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -1,5$. Решений нет.

б) Если $2a-3 = 0$, то есть $a = 1,5$, уравнение принимает вид $0=0$. Решением являются все $\text{x}$ из рассматриваемого промежутка: $x \in (-\infty, -1,5)$.

Случай 2: $-1,5 \le x < 2$.

На этом промежутке $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ и $|2x+3| = 2x+3$.

$3(2-x) - a(2x+3) = 10,5$

$6 - 3x - 2ax - 3a = 10,5$

$x(-3-2a) = 4,5+3a$

$-x(2a+3) = 1,5(2a+3)$

а) Если $2a+3 \ne 0$, то есть $a \ne -1,5$, то $x = -1,5$. Этот корень удовлетворяет условию $-1,5 \le x < 2$. Следовательно, $x=-1,5$ является решением при $a \ne -1,5$.

б) Если $2a+3 = 0$, то есть $a = -1,5$, уравнение принимает вид $0=0$. Решением являются все $\text{x}$ из рассматриваемого промежутка: $x \in [-1,5, 2)$.

Случай 3: $x \ge 2$.

На этом промежутке $|x-2| = x-2$ и $|2x+3| = 2x+3$.

$3(x-2) - a(2x+3) = 10,5$

$3x - 6 - 2ax - 3a = 10,5$

$x(3-2a) = 16,5+3a$

а) Если $3-2a \ne 0$, то есть $a \ne 1,5$, то $x = \frac{16,5+3a}{3-2a}$.

Проверим, при каких $\text{a}$ выполняется условие $x \ge 2$:

$\frac{16,5+3a}{3-2a} \ge 2$

$\frac{16,5+3a - 2(3-2a)}{3-2a} \ge 0$

$\frac{10,5+7a}{3-2a} \ge 0 \Rightarrow \frac{7(a+1,5)}{-(2a-3)} \ge 0 \Rightarrow \frac{a+1,5}{2a-3} \le 0$

Это неравенство выполняется при $a \in [-1,5, 1,5)$.

б) Если $3-2a = 0$, то есть $a = 1,5$, уравнение принимает вид $0 = 16,5 + 3(1,5) = 21$. Решений нет.

Соберем все результаты:

1. Если $a = 1,5$: из случая 1б) имеем $x \in (-\infty, -1,5)$, из случая 2а) имеем $x=-1,5$. Из случая 3б) решений нет. Объединяя, получаем $x \in (-\infty, -1,5]$.

2. Если $a = -1,5$: из случая 1а) решений нет. Из случая 2б) имеем $x \in [-1,5, 2)$. Из случая 3а) имеем корень $x = \frac{16,5+3(-1,5)}{3-2(-1,5)} = \frac{12}{6} = 2$ (так как $a=-1,5$ входит в промежуток $[-1,5, 1,5)$). Объединяя, получаем $x \in [-1,5, 2]$.

3. Если $a \in (-1,5, 1,5)$: из случая 1а) решений нет. Из случая 2а) имеем корень $x=-1,5$. Из случая 3а) имеем корень $x = \frac{16,5+3a}{3-2a}$ (так как $\text{a}$ входит в промежуток $[-1,5, 1,5)$). Итого два корня: $x_1=-1,5$ и $x_2 = \frac{16,5+3a}{3-2a}$.

4. Если $a < -1,5$ или $a > 1,5$: из случая 1а) решений нет, из случая 2а) имеем корень $x=-1,5$. В случае 3а) условие $a \in [-1,5, 1,5)$ не выполняется. Следовательно, при $a \in (-\infty, -1,5) \cup (1,5, +\infty)$ есть только один корень $x=-1,5$.

Ответ: если $a=1,5$, то $x \in (-\infty, -1,5]$;

если $a=-1,5$, то $x \in [-1,5, 2]$;

если $a \in (-1,5, 1,5)$, то $x_1=-1,5$, $x_2=\frac{16,5+3a}{3-2a}$;

если $a \in (-\infty, -1,5) \cup (1,5, +\infty)$, то $x=-1,5$.