Номер 9.94, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.94. При каких значениях параметра $\text{a}$ система уравнений

$\begin{cases} y^2 + 2y(2+x) + (x^2 + 2x)(4-x^2) = 0 \\ y - ax - 3a = 0 \end{cases}$

имеет по крайней мере три различных корня?

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} y^2 + 2y(2+x) + (x^2 + 2x)(4 - x^2) = 0, \\ y - ax - 3a = 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное уравнение относительно переменной $\text{y}$:

$y^2 + 2(2+x)y + (x^2 + 2x)(4 - x^2) = 0$.

Найдем его дискриминант $D_y$:

$D_y = (2(2+x))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (x^2 + 2x)(4 - x^2) = 4(x+2)^2 - 4x(x+2)(2-x)(2+x)$

$D_y = 4(x+2)^2 - 4x(x+2)^2(2-x) = 4(x+2)^2 [1 - x(2-x)] = 4(x+2)^2 (1 - 2x + x^2) = 4(x+2)^2 (x-1)^2 = [2(x+2)(x-1)]^2$.

Поскольку дискриминант является полным квадратом, корни уравнения можно выразить рационально через $\text{x}$:

$y = \frac{-2(2+x) \pm \sqrt{[2(x+2)(x-1)]^2}}{2} = \frac{-2(x+2) \pm 2(x+2)(x-1)}{2} = -(x+2) \pm (x+2)(x-1)$.

Получаем два решения для $\text{y}$:

$y_1 = -(x+2) + (x+2)(x-1) = (x+2)(-1 + x-1) = (x+2)(x-2) = x^2 - 4$.

$y_2 = -(x+2) - (x+2)(x-1) = (x+2)(-1 - (x-1)) = (x+2)(-x) = -x^2 - 2x$.

Таким образом, первое уравнение системы эквивалентно совокупности двух уравнений:

$ \begin{bmatrix} y = x^2 - 4 \\ y = -x^2 - 2x \end{bmatrix} $.

Графиком этой совокупности является объединение двух парабол: $P_1: y = x^2 - 4$ и $P_2: y = -x^2 - 2x$.

Рассмотрим второе уравнение системы:

$y - ax - 3a = 0 \implies y = ax + 3a = a(x+3)$.

Это уравнение задает семейство прямых, проходящих через одну и ту же точку. При $x=-3$ имеем $y=a(-3+3)=0$ для любого $\text{a}$. Следовательно, все прямые этого семейства проходят через точку $M(-3, 0)$.

Задача сводится к нахождению таких значений параметра $\text{a}$, при которых прямая $y=a(x+3)$ имеет не менее трех общих точек с объединением парабол $P_1$ и $P_2$.

Найдем точки пересечения парабол $P_1$ и $P_2$:

$x^2 - 4 = -x^2 - 2x \implies 2x^2 + 2x - 4 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$.

Корни этого уравнения $x=1$ и $x=-2$.

При $x=1$, $y = 1^2 - 4 = -3$. Точка пересечения $A(1, -3)$.

При $x=-2$, $y = (-2)^2 - 4 = 0$. Точка пересечения $B(-2, 0)$.

Количество решений системы — это количество точек пересечения прямой с графиком, состоящим из двух парабол. Число решений меняется, когда прямая проходит через точки пересечения парабол или становится касательной к одной из них. Найдем соответствующие "критические" значения параметра $\text{a}$.

1. Прямая проходит через точку $A(1, -3)$:

$-3 = a(1+3) \implies 4a = -3 \implies a = -3/4$.

2. Прямая проходит через точку $B(-2, 0)$:

$0 = a(-2+3) \implies a = 0$.

3. Прямая касается параболы $P_1: y=x^2-4$:

$a(x+3) = x^2-4 \implies x^2 - ax - 3a - 4 = 0$.

Касание происходит, когда дискриминант равен нулю: $D_1 = (-a)^2 - 4(1)(-3a-4) = a^2+12a+16=0$.

$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144-64}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{80}}{2} = -6 \pm 2\sqrt{5}$.

4. Прямая касается параболы $P_2: y=-x^2-2x$:

$a(x+3) = -x^2-2x \implies x^2+(a+2)x+3a=0$.

Касание происходит, когда дискриминант равен нулю: $D_2 = (a+2)^2 - 4(1)(3a) = a^2+4a+4-12a = a^2-8a+4=0$.

$a = \frac{8 \pm \sqrt{64-16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.

Расположим критические значения $\text{a}$ на числовой оси и проанализируем количество решений на каждом интервале:

Критические значения: $-6-2\sqrt{5}$, $-6+2\sqrt{5}$, $-3/4$, $\text{0}$, $4-2\sqrt{3}$, $4+2\sqrt{3}$.

• При $a \in (-\infty, -6-2\sqrt{5})$ прямая пересекает каждую параболу в двух точках. Итого 4 решения.
• При $a = -6-2\sqrt{5}$ прямая касается $P_1$ (1 точка) и пересекает $P_2$ в двух точках. Итого 3 решения.
• При $a \in (-6-2\sqrt{5}, -6+2\sqrt{5})$ прямая не пересекает $P_1$ и пересекает $P_2$ в двух точках. Итого 2 решения.
• При $a = -6+2\sqrt{5}$ прямая касается $P_1$ (1 точка) и пересекает $P_2$ в двух точках. Итого 3 решения.
• При $a \in (-6+2\sqrt{5}, 4-2\sqrt{3})$ прямая пересекает каждую параболу в двух точках. Если $a \neq -3/4$ и $a \neq 0$, то общих точек нет, итого 4 решения. При $a=-3/4$ прямая проходит через точку $\text{A}$, которая является общей для обеих парабол, поэтому одна из точек пересечения с $P_1$ совпадает с одной из точек пересечения с $P_2$. Всего 3 различных решения. При $a=0$ прямая проходит через точку $\text{B}$, что также дает 3 различных решения. Таким образом, на всем этом промежутке имеется не менее 3 решений.
• При $a = 4-2\sqrt{3}$ прямая пересекает $P_1$ в двух точках и касается $P_2$ (1 точка). Итого 3 решения.
• При $a \in (4-2\sqrt{3}, 4+2\sqrt{3})$ прямая пересекает $P_1$ в двух точках и не пересекает $P_2$. Итого 2 решения.
• При $a = 4+2\sqrt{3}$ прямая пересекает $P_1$ в двух точках и касается $P_2$ (1 точка). Итого 3 решения.
• При $a \in (4+2\sqrt{3}, \infty)$ прямая пересекает каждую параболу в двух точках. Итого 4 решения.

Объединяя все случаи, где система имеет не менее трех решений, получаем:

$a \in (-\infty, -6-2\sqrt{5}] \cup [-6+2\sqrt{5}, 4-2\sqrt{3}] \cup [4+2\sqrt{3}, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -6-2\sqrt{5}] \cup [-6+2\sqrt{5}; 4-2\sqrt{3}] \cup [4+2\sqrt{3}; +\infty)$.