Номер 9.101, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.101. Сравните числа:

1) $\frac{86}{87}$ и $\frac{87}{88}$;

2) $\sqrt{23} - \sqrt{11}$ и $\sqrt{22} - \sqrt{10}$;

3) $\frac{113}{112}$ и $\frac{112}{111}$;

4) $\sqrt{38} + \sqrt{20}$ и $\sqrt{37} + \sqrt{21}$.

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{86}{87}$ и $\frac{87}{88}$, представим каждую из них в виде разности единицы и некоторой дроби. Первая дробь: $\frac{86}{87} = \frac{87-1}{87} = 1 - \frac{1}{87}$. Вторая дробь: $\frac{87}{88} = \frac{88-1}{88} = 1 - \frac{1}{88}$. Теперь нам нужно сравнить вычитаемые дроби $\frac{1}{87}$ и $\frac{1}{88}$. У этих дробей одинаковые числители (равны 1). Та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Поскольку $87 < 88$, то $\frac{1}{87} > \frac{1}{88}$. Так как из единицы в первом случае вычитается большее число ($\frac{1}{87}$), чем во втором ($\frac{1}{88}$), то результат первого вычитания будет меньше. Таким образом, $1 - \frac{1}{87} < 1 - \frac{1}{88}$, а значит, $\frac{86}{87} < \frac{87}{88}$.

Ответ: $\frac{86}{87} < \frac{87}{88}$.

2) Сравним числа $A = \sqrt{23} - \sqrt{11}$ и $B = \sqrt{22} - \sqrt{10}$. Оба числа очевидно положительны. Перенесем отрицательные члены в противоположные стороны сравнения, чтобы работать только с положительными числами. То есть будем сравнивать $\sqrt{23} + \sqrt{10}$ и $\sqrt{22} + \sqrt{11}$. Так как обе части нового сравнения положительны, мы можем возвести их в квадрат, и знак сравнения не изменится. Сравним $(\sqrt{23} + \sqrt{10})^2$ и $(\sqrt{22} + \sqrt{11})^2$. $(\sqrt{23} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{23})^2 + 2\sqrt{23}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 23 + 2\sqrt{230} + 10 = 33 + 2\sqrt{230}$. $(\sqrt{22} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{22})^2 + 2\sqrt{22}\sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 22 + 2\sqrt{242} + 11 = 33 + 2\sqrt{242}$. Теперь сравниваем $33 + 2\sqrt{230}$ и $33 + 2\sqrt{242}$. Вычтем из обеих частей 33, остается сравнить $2\sqrt{230}$ и $2\sqrt{242}$, или $\sqrt{230}$ и $\sqrt{242}$. Поскольку $230 < 242$, то и $\sqrt{230} < \sqrt{242}$. Это означает, что $\sqrt{23} + \sqrt{10} < \sqrt{22} + \sqrt{11}$, и, возвращаясь к исходному выражению, $\sqrt{23} - \sqrt{11} < \sqrt{22} - \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{23} - \sqrt{11} < \sqrt{22} - \sqrt{10}$.

3) Чтобы сравнить дроби $\frac{113}{112}$ и $\frac{112}{111}$, представим каждую из них в виде суммы единицы и некоторой дроби. Первая дробь: $\frac{113}{112} = \frac{112+1}{112} = 1 + \frac{1}{112}$. Вторая дробь: $\frac{112}{111} = \frac{111+1}{111} = 1 + \frac{1}{111}$. Теперь сравним дроби $\frac{1}{112}$ и $\frac{1}{111}$. Так как у дробей одинаковые числители, а знаменатель первой дроби больше знаменателя второй ($112 > 111$), то первая дробь меньше: $\frac{1}{112} < \frac{1}{111}$. Прибавляя к обеим частям этого неравенства единицу, мы не меняем знак неравенства: $1 + \frac{1}{112} < 1 + \frac{1}{111}$. Следовательно, $\frac{113}{112} < \frac{112}{111}$.

Ответ: $\frac{113}{112} < \frac{112}{111}$.

4) Сравним числа $A = \sqrt{38} + \sqrt{20}$ и $B = \sqrt{37} + \sqrt{21}$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства для квадратов будет таким же, как и для самих чисел. Возведем в квадрат первое число: $A^2 = (\sqrt{38} + \sqrt{20})^2 = 38 + 2\sqrt{38 \cdot 20} + 20 = 58 + 2\sqrt{760}$. Возведем в квадрат второе число: $B^2 = (\sqrt{37} + \sqrt{21})^2 = 37 + 2\sqrt{37 \cdot 21} + 21 = 58 + 2\sqrt{777}$. Теперь сравним полученные выражения: $58 + 2\sqrt{760}$ и $58 + 2\sqrt{777}$. Это сравнение сводится к сравнению $2\sqrt{760}$ и $2\sqrt{777}$, а значит, $\sqrt{760}$ и $\sqrt{777}$. Так как $760 < 777$, то $\sqrt{760} < \sqrt{777}$. Следовательно, $58 + 2\sqrt{760} < 58 + 2\sqrt{777}$, что означает $A^2 < B^2$. Поскольку $\text{A}$ и $\text{B}$ положительны, из $A^2 < B^2$ следует, что $A < B$.

Ответ: $\sqrt{38} + \sqrt{20} < \sqrt{37} + \sqrt{21}$.