Номер 9.102, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.102. Сравните время, за которое моторная лодка проплывает 20 км пути в стоячей воде, и время, за которое она проплывает 10 км пути по течению и 10 км пути против течения реки.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения: $v_л$ — собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) и $v_р$ — скорость течения реки. Примем, что $v_л > 0$ и $v_р > 0$. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, необходимо выполнение условия $v_л > v_р$.

Сначала найдем время $t_1$, за которое лодка проплывает 20 км в стоячей воде. В этом случае скорость лодки равна ее собственной скорости $v_л$.

$t_1 = \frac{20}{v_л}$

Теперь найдем общее время $t_2$, за которое лодка проплывает 10 км по течению и 10 км против течения. Это время складывается из времени движения по течению и времени движения против течения.

Скорость лодки при движении по течению равна $v_л + v_р$. Время, затраченное на 10 км пути по течению, составляет:

$t_{по} = \frac{10}{v_л + v_р}$

Скорость лодки при движении против течения равна $v_л - v_р$. Время, затраченное на 10 км пути против течения, составляет:

$t_{против} = \frac{10}{v_л - v_р}$

Суммарное время $t_2$ равно:

$t_2 = t_{по} + t_{против} = \frac{10}{v_л + v_р} + \frac{10}{v_л - v_р}$

Чтобы сравнить $t_1$ и $t_2$, преобразуем выражение для $t_2$, приведя дроби к общему знаменателю:

$t_2 = \frac{10(v_л - v_р) + 10(v_л + v_р)}{(v_л + v_р)(v_л - v_р)} = \frac{10v_л - 10v_р + 10v_л + 10v_р}{v_л^2 - v_р^2} = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_р^2}$

Теперь необходимо сравнить $t_1 = \frac{20}{v_л}$ и $t_2 = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_р^2}$. Для удобства сравнения приведем выражение для $t_1$ к дроби с таким же числителем, как у $t_2$, умножив числитель и знаменатель на $v_л$:

$t_1 = \frac{20 \cdot v_л}{v_л \cdot v_л} = \frac{20v_л}{v_л^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковыми положительными числителями ($20v_л$):

$t_1 = \frac{20v_л}{v_л^2}$ и $t_2 = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_р^2}$

Знаменатель первой дроби равен $v_л^2$. Знаменатель второй дроби равен $v_л^2 - v_р^2$.

Поскольку по условию существует течение, то $v_р > 0$, а значит $v_р^2 > 0$. Следовательно, знаменатель второй дроби меньше знаменателя первой:

$v_л^2 - v_р^2 < v_л^2$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Отсюда следует, что:

$t_2 > t_1$

Таким образом, на путь, состоящий из 10 км по течению и 10 км против течения, лодка затратит больше времени, чем на 20 км пути в стоячей воде.

Ответ: Время, за которое моторная лодка проплывает 10 км по течению и 10 км против течения, больше, чем время, за которое она проплывает 20 км в стоячей воде.