Номер 9.96, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.96. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} xy+x+y = 7, \\ yz+y+z = -3, \\ xz+x+z = -5; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy + xz = 8, \\ yz + xy = 9, \\ xz + yz = -7. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + x + y = 7, \\ yz + y + z = -3, \\ xz + x + z = -5; \end{cases} $

Преобразуем каждое уравнение, прибавив 1 к обеим частям, чтобы можно было сгруппировать слагаемые:

$xy + x + y + 1 = 7 + 1 \implies x(y+1) + 1(y+1) = 8 \implies (x+1)(y+1) = 8$

$yz + y + z + 1 = -3 + 1 \implies y(z+1) + 1(z+1) = -2 \implies (y+1)(z+1) = -2$

$xz + x + z + 1 = -5 + 1 \implies x(z+1) + 1(z+1) = -4 \implies (x+1)(z+1) = -4$

Получим новую, более простую систему:

$ \begin{cases} (x+1)(y+1) = 8, \\ (y+1)(z+1) = -2, \\ (x+1)(z+1) = -4; \end{cases} $

Перемножим все три уравнения этой системы:

$(x+1)(y+1) \cdot (y+1)(z+1) \cdot (x+1)(z+1) = 8 \cdot (-2) \cdot (-4)$

$(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2 = 64$

$((x+1)(y+1)(z+1))^2 = 64$

Отсюда следует, что $(x+1)(y+1)(z+1) = \pm\sqrt{64} = \pm 8$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $(x+1)(y+1)(z+1) = 8$.

Разделим это равенство на каждое из уравнений преобразованной системы:

$z+1 = \frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(x+1)(y+1)} = \frac{8}{8} = 1 \implies z = 0$.

$x+1 = \frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(y+1)(z+1)} = \frac{8}{-2} = -4 \implies x = -5$.

$y+1 = \frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(x+1)(z+1)} = \frac{8}{-4} = -2 \implies y = -3$.

Первое решение: $(-5, -3, 0)$.

Случай 2: $(x+1)(y+1)(z+1) = -8$.

Аналогично, разделим это равенство на каждое из уравнений преобразованной системы:

$z+1 = \frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(x+1)(y+1)} = \frac{-8}{8} = -1 \implies z = -2$.

$x+1 = \frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(y+1)(z+1)} = \frac{-8}{-2} = 4 \implies x = 3$.

$y+1 = \frac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(x+1)(z+1)} = \frac{-8}{-4} = 2 \implies y = 1$.

Второе решение: $(3, 1, -2)$.

Ответ: $(-5, -3, 0), (3, 1, -2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + xz = 8, \\ yz + xy = 9, \\ xz + yz = -7; \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(xy + xz) + (yz + xy) + (xz + yz) = 8 + 9 + (-7)$

$2xy + 2xz + 2yz = 10$

Разделим обе части на 2:

$xy + xz + yz = 5$

Теперь будем вычитать из полученного уравнения каждое из уравнений исходной системы, чтобы найти значения произведений $xy, xz, yz$.

$(xy + xz + yz) - (xy + xz) = 5 - 8 \implies yz = -3$.

$(xy + xz + yz) - (yz + xy) = 5 - 9 \implies xz = -4$.

$(xy + xz + yz) - (xz + yz) = 5 - (-7) \implies xy = 12$.

Мы получили новую систему:

$ \begin{cases} yz = -3, \\ xz = -4, \\ xy = 12; \end{cases} $

Перемножим все три уравнения этой новой системы:

$(yz) \cdot (xz) \cdot (xy) = (-3) \cdot (-4) \cdot 12$

$x^2y^2z^2 = 144$

$(xyz)^2 = 144$

Отсюда следует, что $xyz = \pm\sqrt{144} = \pm 12$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $xyz = 12$.

Разделим это равенство на каждое из уравнений последней системы:

$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{12}{-3} = -4$.

$y = \frac{xyz}{xz} = \frac{12}{-4} = -3$.

$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{12}{12} = 1$.

Первое решение: $(-4, -3, 1)$.

Случай 2: $xyz = -12$.

Аналогично, разделим это равенство на каждое из уравнений последней системы:

$x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-12}{-3} = 4$.

$y = \frac{xyz}{xz} = \frac{-12}{-4} = 3$.

$z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-12}{12} = -1$.

Второе решение: $(4, 3, -1)$.

Ответ: $(-4, -3, 1), (4, 3, -1)$.