Номер 9.100, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.160. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра.

Пусть $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ — длины сторон произвольного треугольника.

Периметр треугольника $\text{P}$ — это сумма длин его сторон: $P = a + b + c$.

Полупериметр $\text{p}$ по определению равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Необходимо доказать, что любая сторона треугольника меньше его полупериметра. Докажем это для стороны $\text{a}$, то есть что $a < p$. Для сторон $\text{b}$ и $\text{c}$ доказательство будет полностью аналогичным.

В основе доказательства лежит неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Для нашего случая это означает, что верны следующие неравенства:

$a + b > c$

$b + c > a$

$a + c > b$

Воспользуемся неравенством $b + c > a$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства величину $\text{a}$:

$a + (b + c) > a + a$

$a + b + c > 2a$

Теперь разделим обе части полученного неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{a + b + c}{2} > \frac{2a}{2}$

После упрощения получаем:

$\frac{a + b + c}{2} > a$

Поскольку левая часть этого неравенства — это полупериметр $\text{p}$, мы можем записать:

$p > a$, что эквивалентно $a < p$.

Мы доказали, что сторона $\text{a}$ меньше полупериметра.

Проведя аналогичные рассуждения для двух других неравенств треугольника ($a + c > b$ и $a + b > c$), можно так же доказать, что $b < p$ и $c < p$.

Таким образом, каждая сторона треугольника действительно меньше его полупериметра, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.