Номер 9.107, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.107. Решите неравенство:

1) $x^2 - 3x - 4 > 0;$

2) $x^2 - 5x - 60 \leq 0;$

3) $x^2 \geq 16.$

1) Для решения неравенства $x^2 - 3x - 4 > 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $\text{3}$, а их произведение равно $-4$. Отсюда следует, что корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен. Неравенство выполняется, когда парабола находится выше оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 4$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) Для решения неравенства $x^2 - 5x - 60 \le 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 60 = 0$.

Поскольку корни не являются целыми числами, вычислим их через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 25 + 240 = 265$.

Корни уравнения равны $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{265}}{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 60$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси абсцисс, то есть между корнями (включая сами корни).

Таким образом, решение неравенства: $\frac{5 - \sqrt{265}}{2} \le x \le \frac{5 + \sqrt{265}}{2}$.

Ответ: $[\frac{5 - \sqrt{265}}{2}; \frac{5 + \sqrt{265}}{2}]$.

3) Перепишем неравенство $x^2 \ge 16$ в виде $x^2 - 16 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов: $(x-4)(x+4) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при значениях $\text{x}$ левее меньшего корня и правее большего корня (включая сами корни).

Таким образом, решение неравенства: $x \le -4$ или $x \ge 4$.

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.