Номер 9.110, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.110-9.112 решите неравенства.

9.110. 1) $\sqrt{x^2-3x+2} > 2-x$;

2) $\sqrt{25-x^2} + \sqrt{x^2+7x} > 3$;

3) $\sqrt{x^2-3x-10} < x-5$;

4) $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} > 1$.

1) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 3x + 2} > 2 - x$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

Первая система:

$\begin{cases} 2 - x < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $x > 2$.

Второе неравенство $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ имеет корни $x_1=1$ и $x_2=2$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение будет $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Пересечение решений $x > 2$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ дает интервал $(2, \infty)$.

Вторая система:

$\begin{cases} 2 - x \ge 0 \\ x^2 - 3x + 2 > (2 - x)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $x \le 2$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 > 4 - 4x + x^2$, что упрощается до $-3x + 2 > 4 - 4x$, и далее $x > 2$.

Система $\begin{cases} x \le 2 \\ x > 2 \end{cases}$ не имеет решений (пустое множество).

Объединяя решения обеих систем, получаем $(2, \infty) \cup \emptyset$.

Ответ: $(2, \infty)$.

2) Исходное неравенство: $\sqrt{25 - x^2} + \sqrt{x^2 + 7x} > 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ x^2 + 7x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \le 25 \\ x(x+7) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -5 \le x \le 5 \\ x \in (-\infty, -7] \cup [0, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является отрезок $[0, 5]$.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{25 - x^2} + \sqrt{x^2 + 7x} = 3$. Возведем обе части в квадрат:

$(25 - x^2) + 2\sqrt{(25 - x^2)(x^2 + 7x)} + (x^2 + 7x) = 9$

$25 + 7x + 2\sqrt{(25 - x^2)(x^2 + 7x)} = 9$

$2\sqrt{(25 - x^2)(x^2 + 7x)} = -16 - 7x$

Левая часть этого уравнения неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $-16 - 7x \ge 0$, откуда $7x \le -16$, то есть $x \le -16/7$.

Это условие не пересекается с ОДЗ $[0, 5]$. Следовательно, уравнение $\sqrt{25 - x^2} + \sqrt{x^2 + 7x} = 3$ не имеет решений на ОДЗ.

Функция $f(x) = \sqrt{25 - x^2} + \sqrt{x^2 + 7x}$ непрерывна на $[0, 5]$. Так как она никогда не равна 3, то она либо всегда больше 3, либо всегда меньше 3 на этом отрезке. Проверим значение в любой точке, например, $x=0$:

$f(0) = \sqrt{25-0} + \sqrt{0+0} = 5$.

Поскольку $5 > 3$, неравенство выполняется для всех $\text{x}$ из ОДЗ.

Ответ: $[0, 5]$.

3) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 3x - 10} < x - 5$.

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 10 \ge 0 \\ x - 5 > 0 \\ x^2 - 3x - 10 < (x - 5)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x^2 - 3x - 10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1=5, x_2=-2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.

2) $x - 5 > 0 \implies x > 5$.

3) $x^2 - 3x - 10 < x^2 - 10x + 25 \implies 7x < 35 \implies x < 5$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$, $x > 5$ и $x < 5$. Условия $x > 5$ и $x < 5$ не могут выполняться одновременно. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

4) Исходное неравенство: $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} > 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 1+x \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 1 \end{cases} \implies x \in [-1, 1]$.

На ОДЗ обе части неравенства положительны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})^2 > 1^2$

$(1+x) + 2\sqrt{(1+x)(1-x)} + (1-x) > 1$

$2 + 2\sqrt{1-x^2} > 1$

$2\sqrt{1-x^2} > -1$

Левая часть $2\sqrt{1-x^2}$ всегда неотрицательна для $x \in [-1, 1]$. Любое неотрицательное число больше, чем -1. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $\text{x}$, для которых выражение $\sqrt{1-x^2}$ определено, то есть для всех $\text{x}$ из ОДЗ.

Ответ: $[-1, 1]$.