Номер 9.115, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.115. 1) $|2x + 3| \le 4x;$

2) $x^2 - |5x + 6| > 0.$

1)

Решим неравенство $|2x + 3| \le 4x$.

Поскольку левая часть неравенства $|2x + 3|$ по определению модуля является неотрицательной, то для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной. Отсюда получаем первое условие (область допустимых значений):

$4x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Неравенство вида $|A| \le B$ (при $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$. Применительно к нашей задаче:

$-4x \le 2x + 3 \le 4x$

Это эквивалентно системе из двух неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 3 \le 4x \\ 2x + 3 \ge -4x \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$2x + 3 \le 4x$

$3 \le 4x - 2x$

$3 \le 2x$

$x \ge 1.5$

Решим второе неравенство системы:

$2x + 3 \ge -4x$

$2x + 4x \ge -3$

$6x \ge -3$

$x \ge -0.5$

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех условий, которым должен удовлетворять $\text{x}$:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1.5 \\ x \ge -0.5 \end{cases} $

Пересечением этих трех множеств является промежуток $x \ge 1.5$.

Ответ: $x \in [1.5; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $x^2 - |5x + 6| > 0$.

Перепишем неравенство в виде $x^2 > |5x + 6|$, что равносильно $|5x + 6| < x^2$.

Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$. В нашем случае $A = 5x+6$ и $B = x^2$. Заметим, что для выполнения неравенства $B=x^2$ должно быть строго больше 0, так как $|5x+6|$ может быть равно 0 (при $x=-1.2$, $0 < (-1.2)^2$ - верно), а в общем случае $|5x+6| \ge 0$. Условие $x^2 > 0$ означает, что $x \ne 0$.

Получаем систему:

$-x^2 < 5x + 6 < x^2$

Эта система эквивалентна двум неравенствам, которые должны выполняться одновременно:

$ \begin{cases} 5x + 6 < x^2 \\ 5x + 6 > -x^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 6 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх, неравенство выполняется при $\text{x}$ за пределами корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 5x + 6 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x + 6$ направлены вверх, неравенство выполняется при $\text{x}$ за пределами корней.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$ ( (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) ) \cap ( (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty) ) $

Для нахождения пересечения удобно использовать числовую ось. Отметив на ней интервалы, соответствующие решениям первого и второго неравенств, мы увидим, что их общими частями являются интервалы $(-\infty; -3)$, $(-2; -1)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; -1) \cup (6; +\infty)$.