Номер 9.118, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.118. При каких значениях параметра $\text{a}$ число $x=1$ является корнем уравнения $ax^2 + (3a^2 + 1)x - 3 > 0$?

По условию задачи, число $x = 1$ является решением неравенства (в формулировке задачи используется термин "корень", что обычно относится к уравнениям, а не к неравенствам). Это означает, что при подстановке значения $x=1$ в данное неравенство, мы должны получить верное числовое неравенство.

Исходное неравенство: $ax^2 + (3a^2 + 1)x - 3 > 0$.

Подставим в него значение $x = 1$: $a(1)^2 + (3a^2 + 1)(1) - 3 > 0$

После подстановки и упрощения получим неравенство относительно параметра $\text{a}$: $a + 3a^2 + 1 - 3 > 0$ $3a^2 + a - 2 > 0$

Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3a^2 + a - 2 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения равны: $a_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$ $a_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Графиком функции $f(a) = 3a^2 + a - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($3 > 0$). Это означает, что квадратный трехчлен принимает положительные значения на интервалах, расположенных вне его корней. Следовательно, решением неравенства $3a^2 + a - 2 > 0$ является объединение двух интервалов: $a < -1$ и $a > \frac{2}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.