Номер 9.120, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.120. При каких значениях параметра $\text{a}$ каждое решение неравенства $x^2 - 5x + 40 \leq 0$ является решением неравенства $x^2 - a^2 > 0$?

Задача заключается в том, чтобы найти все значения параметра $\text{a}$, при которых множество решений неравенства $x^2 - 5x + 40 \le 0$ полностью содержится в множестве решений неравенства $x^2 - a^2 > 0$.

1. Анализ первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - 5x + 40 \le 0$. Это квадратичное неравенство. Для определения его множества решений найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 40 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 25 - 160 = -135$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = x^2 - 5x + 40$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Так как парабола не пересекает ось $Ox$ и ее ветви направлены вверх, она полностью расположена в верхней полуплоскости. Это означает, что значение выражения $x^2 - 5x + 40$ всегда положительно при любом действительном $\text{x}$.

Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 40 \le 0$ не имеет решений. Множество его решений является пустым множеством ($x \in \emptyset$).

2. Анализ условия задачи

Условие "каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2)" означает, что множество решений неравенства (1) должно быть подмножеством множества решений неравенства (2).

Поскольку у первого неравенства нет решений, его множество решений — пустое множество $\emptyset$.

Пустое множество по определению является подмножеством любого другого множества. Таким образом, условие, что множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства ($x^2 - a^2 > 0$), выполняется всегда, независимо от значения параметра $\text{a}$.

Следовательно, данное в задаче условие справедливо для любого действительного значения параметра $\text{a}$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.