Номер 9.114, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.114. 1) $|\frac{x^2 - 3}{x + 3}| \le 1$;

2) $|\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}| \ge 1$.

1)

Исходное неравенство: $|\frac{x^2-3}{x+3}| \le 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $x+3 \ne 0$, что означает $x \ne -3$.

Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$. В нашем случае:

$-1 \le \frac{x^2-3}{x+3} \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{x^2-3}{x+3} \le 1 \\ \frac{x^2-3}{x+3} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$\frac{x^2-3}{x+3} - 1 \le 0$

$\frac{x^2-3 - (x+3)}{x+3} \le 0$

$\frac{x^2-x-6}{x+3} \le 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2-x-6=0$ равны $x_1=3$ и $x_2=-2$.

$\frac{(x-3)(x+2)}{x+3} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: -3, -2, 3. Точка -3 выколотая (знаменатель), точки -2 и 3 закрашенные (неравенство нестрогое).

Определяем знаки на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2]$, $[-2; 3]$, $[3; +\infty)$.

Для $x>3$, например $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.

Для $x \in (-2; 3)$, например $x=0$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.

Для $x \in (-3; -2)$, например $x=-2.5$: $\frac{(-)(-)}{(-)} > 0$.

Для $x < -3$, например $x=-4$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение $\le 0$. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 3]$.

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{x^2-3}{x+3} \ge -1$

$\frac{x^2-3}{x+3} + 1 \ge 0$

$\frac{x^2-3 + x+3}{x+3} \ge 0$

$\frac{x^2+x}{x+3} \ge 0$

$\frac{x(x+1)}{x+3} \ge 0$

Решим методом интервалов. Точки: -3, -1, 0. Точка -3 выколотая, точки -1 и 0 закрашенные.

Определяем знаки на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1]$, $[-1; 0]$, $[0; +\infty)$.

Для $x>0$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.

Для $x \in (-1; 0)$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.

Для $x \in (-3; -1)$: $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.

Для $x < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение $\ge 0$. Решение второго неравенства: $x \in (-3; -1] \cup [0; +\infty)$.

Найдём пересечение решений обоих неравенств:

$( (-\infty; -3) \cup [-2; 3] ) \cap ( (-3; -1] \cup [0; +\infty) )$

Пересечение даёт два интервала: $[-2; -1]$ и $[0; 3]$.

Таким образом, общее решение системы: $x \in [-2; -1] \cup [0; 3]$. ОДЗ ($x \ne -3$) учтено.

Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [0; 3]$.

2)

Исходное неравенство: $|\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}| \ge 1$.

ОДЗ: $x^2+3x+2 \ne 0$. Разложим на множители: $(x+1)(x+2) \ne 0$. Следовательно, $x \ne -1$ и $x \ne -2$.

Неравенство вида $|a| \ge b$ (где $b>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.

Получаем совокупность:

$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} \ge 1$ или $\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} \le -1$.

Решим первое неравенство совокупности:

$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} - 1 \ge 0$

$\frac{(x^2-3x+2) - (x^2+3x+2)}{x^2+3x+2} \ge 0$

$\frac{-6x}{x^2+3x+2} \ge 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{6x}{(x+1)(x+2)} \le 0$

Решаем методом интервалов. Точки: -2, -1, 0. Точки -2 и -1 выколотые (ОДЗ), точка 0 закрашенная.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 0]$, $[0; +\infty)$.

Для $x>0$: $\frac{+}{(+)(+)} > 0$.

Для $x \in (-1; 0)$: $\frac{-}{(+)(+)} < 0$.

Для $x \in (-2; -1)$: $\frac{-}{(-)(+)} > 0$.

Для $x < -2$: $\frac{-}{(-)(-)} < 0$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 0]$.

Решим второе неравенство совокупности:

$\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} + 1 \le 0$

$\frac{(x^2-3x+2) + (x^2+3x+2)}{x^2+3x+2} \le 0$

$\frac{2x^2+4}{x^2+3x+2} \le 0$

$\frac{2(x^2+2)}{(x+1)(x+2)} \le 0$

Числитель $2(x^2+2)$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+2 > 0$.

Поэтому знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство сводится к:

$(x+1)(x+2) < 0$

Корни $x=-1$ и $x=-2$. Ветви параболы $y=(x+1)(x+2)$ направлены вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-2; -1)$.

Теперь объединим решения обоих неравенств, так как они были в совокупности (союз "или"):

$( (-\infty; -2) \cup (-1; 0] ) \cup ( (-2; -1) )$

Объединение этих множеств дает $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; 0]$.

Это можно записать как $(-\infty; 0]$ за исключением точек -1 и -2, что соответствует ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; 0]$.