Номер 9.108, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.108. Решите неравенство:

1) $\frac{x+4}{x-2} \le \frac{2}{x+1}$;

2) $\frac{1}{x^2+x} \le \frac{1}{2x^2+2x+3}$.

1) Решим неравенство $\frac{x+4}{x-2} \le \frac{2}{x+1}$.

Для начала перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{x+4}{x-2} - \frac{2}{x+1} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+1)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

$\frac{(x+4)(x+1) - 2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x^2 + x + 4x + 4 - 2x + 4}{(x-2)(x+1)} \le 0$

$\frac{x^2 + 3x + 8}{(x-2)(x+1)} \le 0$

Теперь проанализируем числитель $x^2 + 3x + 8$. Найдем его дискриминант, чтобы определить наличие корней:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a=1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 8$ принимает только положительные значения при любом $\text{x}$.

Так как числитель дроби всегда положителен, знак всего выражения зависит только от знака знаменателя. Неравенство $\frac{x^2 + 3x + 8}{(x-2)(x+1)} \le 0$ равносильно неравенству:

$(x-2)(x+1) < 0$.

Знак строгий, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Решим неравенство $(x-2)(x+1) < 0$ методом интервалов. Корни выражения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разделят прямую на три интервала. Определим знак выражения в каждом интервале:

- при $x < -1$, $(x-2)(x+1) > 0$ (например, при $x=-2$, $(-4)(-1)=4 > 0$);

- при $-1 < x < 2$, $(x-2)(x+1) < 0$ (например, при $x=0$, $(-2)(1)=-2 < 0$);

- при $x > 2$, $(x-2)(x+1) > 0$ (например, при $x=3$, $(1)(4)=4 > 0$).

Нас интересует интервал, где произведение отрицательно, то есть $-1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

2) Решим неравенство $\frac{1}{x^2+x} \le \frac{1}{2x^2+2x+3}$.

Перенесем все в левую часть:

$\frac{1}{x^2+x} - \frac{1}{2x^2+2x+3} \le 0$

Приведем к общему знаменателю $(x^2+x)(2x^2+2x+3)$. ОДЗ: $x^2+x \neq 0$ и $2x^2+2x+3 \neq 0$.

$\frac{(2x^2+2x+3) - (x^2+x)}{(x^2+x)(2x^2+2x+3)} \le 0$

Упростим числитель:

$2x^2+2x+3 - x^2 - x = x^2+x+3$.

Неравенство примет вид:

$\frac{x^2+x+3}{(x^2+x)(2x^2+2x+3)} \le 0$

Проанализируем каждый множитель:

1. Числитель $x^2+x+3$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2+x+3$ всегда положительно.

2. Множитель в знаменателе $2x^2+2x+3$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 - 24 = -20$. Так как $D < 0$ и $a=2 > 0$, выражение $2x^2+2x+3$ также всегда положительно.

3. Множитель в знаменателе $x^2+x = x(x+1)$.

Поскольку выражения $x^2+x+3$ и $2x^2+2x+3$ всегда положительны, знак всей дроби определяется знаком выражения $x^2+x$. Неравенство равносильно:

$x^2+x < 0$

$x(x+1) < 0$

Решим неравенство $x(x+1) < 0$ методом интервалов. Корни: $x=0$ и $x=-1$.

- при $x < -1$, $x(x+1) > 0$;

- при $-1 < x < 0$, $x(x+1) < 0$;

- при $x > 0$, $x(x+1) > 0$.

Нас интересует интервал, где произведение отрицательно. Это интервал $(-1, 0)$. Данный интервал удовлетворяет ОДЗ, так как в нем $x^2+x \neq 0$.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.