Номер 9.105, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.105. Решите неравенство методом интервалов:

1) $(2x+7)(3x-4)(x+5)>0$;

2) $(x-6)(0,5x+4)(5x+10) < 0$.

1) $(2x + 7)(3x - 4)(x + 5) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем нули функции $f(x) = (2x + 7)(3x - 4)(x + 5)$. Для этого приравняем левую часть неравенства к нулю:

$(2x + 7)(3x - 4)(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$2x + 7 = 0 \implies 2x = -7 \implies x_1 = -3,5$

$3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{3}$

$x + 5 = 0 \implies x_3 = -5$

Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми (не входящими в решение). Расположим их в порядке возрастания: $-5$, $-3,5$, $\frac{4}{3}$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3,5)$, $(-3,5; \frac{4}{3})$ и $(\frac{4}{3}; +\infty)$.

Определим знак выражения $f(x)$ в каждом интервале. Для этого выберем пробную точку из каждого интервала и подставим ее в выражение.

• Интервал $(\frac{4}{3}; +\infty)$: возьмем $x = 2$.

  $(2 \cdot 2 + 7)(3 \cdot 2 - 4)(2 + 5) = (4 + 7)(6 - 4)(7) = (11)(2)(7) > 0$. Знак «+».

• Интервал $(-3,5; \frac{4}{3})$: возьмем $x = 0$.

  $(2 \cdot 0 + 7)(3 \cdot 0 - 4)(0 + 5) = (7)(-4)(5) < 0$. Знак «-».

• Интервал $(-5; -3,5)$: возьмем $x = -4$.

  $(2(-4) + 7)(3(-4) - 4)(-4 + 5) = (-8 + 7)(-12 - 4)(1) = (-1)(-16)(1) > 0$. Знак «+».

• Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x = -6$.

  $(2(-6) + 7)(3(-6) - 4)(-6 + 5) = (-12 + 7)(-18 - 4)(-1) = (-5)(-22)(-1) < 0$. Знак «-».

Расставим знаки на числовой оси: `(-) -5 (+) -3,5 (-) 4/3 (+)`.

Так как исходное неравенство $(2x + 7)(3x - 4)(x + 5) > 0$, нам нужны интервалы, где выражение положительно, то есть где стоит знак «+».

Это интервалы $(-5; -3,5)$ и $(\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; -3,5) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

2) $(x - 6)(0,5x + 4)(5x + 10) < 0$

Найдем нули функции $g(x) = (x - 6)(0,5x + 4)(5x + 10)$, приравняв ее к нулю:

$(x - 6)(0,5x + 4)(5x + 10) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 6 = 0 \implies x_1 = 6$

$0,5x + 4 = 0 \implies 0,5x = -4 \implies x_2 = -8$

$5x + 10 = 0 \implies 5x = -10 \implies x_3 = -2$

Отметим точки на числовой оси в порядке возрастания: $-8$, $-2$, $\text{6}$. Так как неравенство строгое ($< $), точки будут выколотыми.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; -2)$, $(-2; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Определим знак выражения $g(x)$ в каждом интервале.

• Интервал $(6; +\infty)$: возьмем $x = 10$.

  $(10 - 6)(0,5 \cdot 10 + 4)(5 \cdot 10 + 10) = (4)(5 + 4)(50 + 10) = (4)(9)(60) > 0$. Знак «+».

• Интервал $(-2; 6)$: возьмем $x = 0$.

  $(0 - 6)(0,5 \cdot 0 + 4)(5 \cdot 0 + 10) = (-6)(4)(10) < 0$. Знак «-».

• Интервал $(-8; -2)$: возьмем $x = -4$.

  $(-4 - 6)(0,5(-4) + 4)(5(-4) + 10) = (-10)(-2 + 4)(-20 + 10) = (-10)(2)(-10) > 0$. Знак «+».

• Интервал $(-\infty; -8)$: возьмем $x = -10$.

  $(-10 - 6)(0,5(-10) + 4)(5(-10) + 10) = (-16)(-5 + 4)(-50 + 10) = (-16)(-1)(-40) < 0$. Знак «-».

Расставим знаки на числовой оси: `(-) -8 (+) -2 (-) 6 (+)`.

Так как исходное неравенство $(x - 6)(0,5x + 4)(5x + 10) < 0$, нам нужны интервалы, где выражение отрицательно, то есть где стоит знак «-».

Это интервалы $(-\infty; -8)$ и $(-2; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-2; 6)$.