Номер 9.106, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.106. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - 4x + 3} > -3$;

2) $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} > 3$;

3) $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 3} > \frac{3}{x + 2}$;

4) $\frac{x - 2}{x + 2} \ge \frac{2x - 3}{4x - 1}$.

1)

Исходное неравенство: $ \frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3} > -3 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+3} + 3 > 0 $

$ \frac{x^2-2x+3 + 3(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} > 0 $

Упростим числитель:

$ \frac{x^2-2x+3 + 3x^2-12x+9}{x^2-4x+3} > 0 $

$ \frac{4x^2-14x+12}{x^2-4x+3} > 0 $

Разделим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем их корни.

Корни числителя $4x^2-14x+12=0$ (или $2x^2-7x+6=0$):

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$; $x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Корни знаменателя $x^2-4x+3=0$:

По теореме Виета, $x_3 = 1$; $x_4 = 3$.

Неравенство можно переписать в виде:

$ \frac{4(x-1,5)(x-2)}{(x-1)(x-3)} > 0 $

Решим неравенство методом интервалов. Критические точки: 1; 1,5; 2; 3. Нанесем их на числовую ось и определим знаки выражения в каждом интервале.

$(-\infty; 1)$: знак +

$(1; 1,5)$: знак -

$(1,5; 2)$: знак +

$(2; 3)$: знак -

$(3; +\infty)$: знак +

Так как неравенство строгое ($>$), выбираем интервалы со знаком "+". Точки, в которых знаменатель равен нулю (1 и 3) и числитель равен нулю (1,5 и 2), не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1,5; 2) \cup (3; +\infty)$.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} > 3 $.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1} - 3 > 0 $

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1, x \neq -1$.

$ \frac{2(x+1) - (x-1) - 3(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Упростим числитель:

$ \frac{2x+2 - x+1 - 3(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} > 0 $

$ \frac{x+3 - 3x^2+3}{(x-1)(x+1)} > 0 $

$ \frac{-3x^2+x+6}{(x-1)(x+1)} > 0 $

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$ \frac{3x^2-x-6}{(x-1)(x+1)} < 0 $

Найдем корни числителя $3x^2-x-6=0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$.

Критические точки: $\frac{1 - \sqrt{73}}{6}$, $-1$, $\text{1}$, $\frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Решим методом интервалов. Знаки выражения $\frac{3x^2-x-6}{(x-1)(x+1)}$ на интервалах:

$(-\infty; \frac{1-\sqrt{73}}{6})$: знак +

$(\frac{1-\sqrt{73}}{6}; -1)$: знак -

$(-1; 1)$: знак +

$(1; \frac{1+\sqrt{73}}{6})$: знак -

$(\frac{1+\sqrt{73}}{6}; +\infty)$: знак +

Так как мы ищем, где выражение меньше нуля ($<$), выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (\frac{1-\sqrt{73}}{6}; -1) \cup (1; \frac{1+\sqrt{73}}{6})$.

3)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2} $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0 $

ОДЗ: $x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3$. Приведем к общему знаменателю $(x+1)(x+3)(x+2)$:

$ \frac{(x+3)(x+2) + 2(x+1)(x+2) - 3(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

Упростим числитель:

$ (x^2+5x+6) + (2x^2+6x+4) - (3x^2+12x+9) $

$ (1+2-3)x^2 + (5+6-12)x + (6+4-9) = -x+1 $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{-x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

Умножим на -1 и сменим знак:

$ \frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0 $

Критические точки: -3, -2, -1, 1. Решим методом интервалов.

$(-\infty; -3)$: знак +

$(-3; -2)$: знак -

$(-2; -1)$: знак +

$(-1; 1)$: знак -

$(1; +\infty)$: знак +

Выбираем интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (-1; 1)$.

4)

Исходное неравенство: $ \frac{x-2}{x+2} \geq \frac{2x-3}{4x-1} $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{x-2}{x+2} - \frac{2x-3}{4x-1} \geq 0 $

ОДЗ: $x \neq -2, x \neq \frac{1}{4}$. Приведем к общему знаменателю $(x+2)(4x-1)$:

$ \frac{(x-2)(4x-1) - (2x-3)(x+2)}{(x+2)(4x-1)} \geq 0 $

Упростим числитель:

$ (4x^2-x-8x+2) - (2x^2+4x-3x-6) $

$ (4x^2-9x+2) - (2x^2+x-6) = 2x^2-10x+8 $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{2x^2-10x+8}{(x+2)(4x-1)} \geq 0 $

Разделим числитель на 2 и разложим на множители:

$ \frac{x^2-5x+4}{(x+2)(4x-1)} \geq 0 $

$ \frac{(x-1)(x-4)}{(x+2)(4x-1)} \geq 0 $

Критические точки: -2, $\frac{1}{4}$, 1, 4. Корни числителя (1 и 4) включаем в решение, корни знаменателя (-2 и $\frac{1}{4}$) исключаем. Решим методом интервалов.

$(-\infty; -2)$: знак +

$(-2; \frac{1}{4})$: знак -

$(\frac{1}{4}; 1]$: знак +

$[1; 4]$: знак -

$[4; +\infty)$: знак +

Выбираем интервалы со знаком "+", учитывая, что точки 1 и 4 входят в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{4}; 1] \cup [4; +\infty)$.