Номер 9.109, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.109. Решите неравенство:

1) $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12\ge0$;

2) $x^2+(x+2)^2 < \frac{60}{x^2+2x+3}$.

1) $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 \ge 0$

Данное неравенство является квадратным относительно выражения $(x^2 - x)$. Введем новую переменную для упрощения. Пусть $t = x^2 - x$.

После замены неравенство принимает вид:

$t^2 - 8t + 12 \ge 0$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 8t + 12 = 0$. Используя теорему Виета, находим, что сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Отсюда корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$.

Графиком функции $y = t^2 - 8t + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при $\text{t}$, находящихся вне интервала между корнями, то есть при $t \le 2$ или $t \ge 6$.

Теперь вернемся к исходной переменной $\text{x}$. Мы получили совокупность двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} x^2 - x \le 2 \\ x^2 - x \ge 6 \end{gathered} \right.$

Решим каждое из этих неравенств.

1. $x^2 - x \le 2$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Находим корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-1 \le x \le 2$.

2. $x^2 - x \ge 6$

$x^2 - x - 6 \ge 0$

Находим корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Корни равны $x_3 = -2$ и $x_4 = 3$. Так как это парабола ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \le -2$ или $x \ge 3$.

Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в пунктах 1 и 2.

Объединяя множества $[-1, 2]$ и $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$, получаем окончательный результат.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [-1, 2] \cup [3, +\infty)$.

2) $x^2 + (x+2)^2 < \frac{60}{x^2 + 2x + 3}$

Сначала преобразуем левую часть неравенства:

$x^2 + (x+2)^2 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 4x + 4 = 2(x^2 + 2x + 2)$.

Неравенство принимает вид:

$2(x^2 + 2x + 2) < \frac{60}{x^2 + 2x + 3}$.

Заметим, что в обеих частях неравенства есть схожие выражения. Введем замену. Пусть $t = x^2 + 2x + 3$.

Чтобы найти область возможных значений $\text{t}$, выделим полный квадрат: $t = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x+1)^2 + 2$.

Поскольку $(x+1)^2 \ge 0$ для любого действительного $\text{x}$, минимальное значение $\text{t}$ равно 2 (при $x = -1$). Таким образом, $t \ge 2$. Это также означает, что знаменатель $x^2 + 2x + 3$ всегда положителен, и мы можем на него умножать, не меняя знак неравенства.

Выразим левую часть через $\text{t}$: $2(x^2 + 2x + 2) = 2((x^2 + 2x + 3) - 1) = 2(t - 1)$.

Подставим замену в неравенство:

$2(t-1) < \frac{60}{t}$.

Так как $t \ge 2$, $\text{t}$ строго положителен. Умножим обе части на $\text{t}$:

$2t(t-1) < 60$

$t^2 - t < 30$

$t^2 - t - 30 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 30 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -5$ и $t_2 = 6$.

Парабола $y = t^2 - t - 30$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-5 < t < 6$.

Теперь учтем ограничение $t \ge 2$. Решение для $\text{t}$ должно удовлетворять системе:

$\begin{cases} -5 < t < 6 \\ t \ge 2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $2 \le t < 6$.

Выполним обратную замену $t = x^2 + 2x + 3$:

$2 \le x^2 + 2x + 3 < 6$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 + 2x + 3 \ge 2 \\ x^2 + 2x + 3 < 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 2x + 1 \ge 0 \implies (x+1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для всех действительных $\text{x}$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 2x - 3 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Парабола $y=x^2+2x-3$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-3 < x < 1$.

Решение исходного неравенства — это пересечение решений системы, то есть пересечение множества всех действительных чисел и интервала $(-3, 1)$.

Ответ: $(-3, 1)$.