Номер 9.116, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.116. 1) $|x^2 - 7x + 5| \le 5$;

2) $|x^2 - 3x| < x$;

3) $|x^2 - 3x| > x$.

1) $|x^2 - 7x + 5| \le 5$

Неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 - 7x + 5 \le 5 \\ x^2 - 7x + 5 \ge -5 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 7x + 5 \le 5$

$x^2 - 7x \le 0$

$x(x - 7) \le 0$

Корнями уравнения $x(x - 7) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Графиком функции $y = x^2 - 7x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции не больше нуля на отрезке между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in [0, 7]$.

Теперь решим второе неравенство системы:

$x^2 - 7x + 5 \ge -5$

$x^2 - 7x + 10 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, произведение равно 10. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Неравенство можно записать как $(x-2)(x-5) \ge 0$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x + 10$ направлены вверх, неравенство выполняется при значениях $\text{x}$ вне отрезка между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.

Решением исходного неравенства является пересечение решений обоих неравенств системы:

$[0, 7] \cap \left( (-\infty, 2] \cup [5, \infty) \right)$

На числовой прямой это пересечение дает объединение двух отрезков: $[0, 2] \cup [5, 7]$.

Ответ: $[0, 2] \cup [5, 7]$.

2) $|x^2 - 3x| \le x$

Левая часть неравенства (модуль) всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной, чтобы неравенство имело решение. Это дает нам первое условие: $x \ge 0$.

При выполнении этого условия неравенство $|x^2 - 3x| \le x$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x \le x \\ x^2 - 3x \ge -x \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 4x \le 0$

$x(x - 4) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [0, 4]$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 2x \ge 0$

$x(x - 2) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, а также учтем начальное условие $x \ge 0$.

Пересечение решений системы: $[0, 4] \cap ((-\infty, 0] \cup [2, \infty)) = \{0\} \cup [2, 4]$.

Все значения из полученного множества удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Ответ: $\{0\} \cup [2, 4]$.

3) $|x^2 - 3x| > x$

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

$\left[ \begin{array}{l} x^2 - 3x > x \\ x^2 - 3x < -x \end{array} \right.$

Решим первое неравенство совокупности:

$x^2 - 4x > 0$

$x(x - 4) > 0$

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны 0 и 4. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется вне отрезка между корнями.

Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Решим второе неравенство совокупности:

$x^2 - 2x < 0$

$x(x - 2) < 0$

Корни уравнения $x(x-2)=0$ равны 0 и 2. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение: $x \in (0, 2)$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений, полученных для каждого случая:

$\left( (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \right) \cup (0, 2)$

Записав интервалы в порядке возрастания, получаем:

$(-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (4, \infty)$

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (4, \infty)$.