Номер 9.122, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.122. При каком значении $\text{a}$ число $\frac{\pi}{6}$ является корнем уравнения

$3\sin6x + 2\sin5x + 5\cos4x - 3\sin3x + 2\cos2x - \sin^2x = a?$

По условию задачи, число $x = \frac{\pi}{6}$ является корнем уравнения. Это означает, что если подставить это значение $\text{x}$ в уравнение, то получится верное равенство. Левая часть уравнения при этом будет равна $\text{a}$. Вычислим значение левой части уравнения при $x = \frac{\pi}{6}$.

$a = 3\sin(6x) + 2\sin(5x) + 5\cos(4x) - 3\sin(3x) + 2\cos(2x) - \sin^2(x)$

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$:

$a = 3\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 2\sin(5 \cdot \frac{\pi}{6}) + 5\cos(4 \cdot \frac{\pi}{6}) - 3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) + 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \sin^2(\frac{\pi}{6})$

Упростим аргументы тригонометрических функций:

$a = 3\sin(\pi) + 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + 5\cos(\frac{2\pi}{3}) - 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2\cos(\frac{\pi}{3}) - (\sin(\frac{\pi}{6}))^2$

Теперь вычислим значения тригонометрических функций:

$\sin(\pi) = 0$

$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в выражение для $\text{a}$:

$a = 3 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (-\frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2$

$a = 0 + 1 - \frac{5}{2} - 3 + 1 - \frac{1}{4}$

Сгруппируем целые и дробные части:

$a = (1 - 3 + 1) - \frac{5}{2} - \frac{1}{4}$

$a = -1 - \frac{5}{2} - \frac{1}{4}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 4:

$a = -\frac{4}{4} - \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{-4 - 10 - 1}{4} = \frac{-15}{4}$

Ответ: $a = -\frac{15}{4}$